文章目录

• • 基本概念
  • • 1.子群
    • 2.子群判定定理
    • 3.群的重要性质
    • 4.子半群
    • 5.共轭子群
    • 6.正规子群
  • 相关题型
  • • 1.证明一个代数系统是另一个代数系统的子群
    • 2.证明一个代数系统是另一个代数系统的子群
    • 3.判断一个代数系统是否是另一个代数系统的子群
    • 4.证明一个代数系统是另一个代数系统的子群
    • 5.证明一个代数系统是另一个代数系统的子群
    • 6.较难的子群证明题
    • 7.子群判定定理二
    • 8.指定群的子群个数的判定
    • 9.子群的元素判定
    • 10.共轭子群的定义运用
    • 11.群的性质的应用
    • 12.群的性质的应用
    • 13.证明一个代数系统是另一个群的正规子群
    • • 14.找出一个群的指定阶数的子群

基本概念

1.子群

子群的定义：假设是一个群，H是G的非空子集，如果也构成一个群，那么就称是的子群，记作H≤G。当H≤G且H≠G时，称H是G的真子群。

子群的性质：任何群都存在子群。

平凡子群的定义：和<{e},※>都是的子群，被称为的平凡子群。

2.子群判定定理

第一条判定定理：如果是群，那么为的子群的充要条件是：

• 包含幺元：G的幺元是H中的元素。
• 运算封闭性：※运算在H上仍然是封闭的。
• 包含逆元：H中任意元素的逆元也在H中。

第二条判定定理：如果是群，H是G的有限非空子集，那么是的子群当且仅当运算在H上也封闭。

备注1：也就是说，当H是有限集时，第一条判定定理中的条件就可以放宽松了，只需要运算封闭即可。

备注2：根据第二条判定定理，根据一个群的二元运算表，可以根据运算封闭性来找出这个群的所有子群。

第三条判定定理：设为群，H为G的非空子集，则是的子群当且仅当对H中的任意元素a和b，都有a※b^-1仍然是H中的元素。

3.群的重要性质

群的中心的概念：假设是一个群，是由G中所有运算满足可以交换性的元素构成的集合，则C是G的子群，被称为G的中心。

群的交集并集和运算：设是群，和是G的子群，则有下面这些结论：

• 也是的子群；
• 是的子群当且仅当H是K的子集或K是H的子集；
• 是的子群当且仅当HK=KH。

4.子半群

子半群的定义：设是一个半群，B是S的子集且运算在B上是封闭的，那么也是一个半群，被称为的子半群。

5.共轭子群

共轭子群的定义：设是一个群，H是G的子群，x∈G，则可以证明xHx^-1元素的集合构成G的子群，被称为G的共轭子群。

6.正规子群

正规子群的定义：设是群，H是G的子集，如果对于G中的任意元素g，都存在gH=Hg（两个集合相等），那么就称H是G的正规子群或不变子群。

正规子群的性质：

• 任何群都有两个平凡的正规子群，一个只包含幺元，另一个为自身。如果一个群只有平凡正规子群，那么称这个群为单群。
• 如果G本身是一个交换群，那么G的所有子群都是正规子群。
• 如果H和K都是G的子群，H是G的正规子群且H是K的子集，那么H也是K的正规子群。

相关题型

1.证明一个代数系统是另一个代数系统的子群

解析：本题考查证明一个代数系统是另一个代数系统的子群。
为了证明一个代数系统是另一个代数系统的子群，我们只需要证明这个代数系统是群，同时该代数系统对应的集合是另一个代数系统对应集合的子集即可。
H表示的是偶数集合，偶数集合的加法明显满足封闭性和可结合性，同时运算存在幺元0，每个元素都存在其相反数作为逆元。
另外，偶数集合是整数集合的子集，由此可以证明题目中的结论成立。

2.证明一个代数系统是另一个代数系统的子群

解析：本题考查证明一个代数系统是另一个代数系统的子群，和上一题采用一样的方法即可。也就是先证明四个代数系统都是群，然后判断对应的集合是原始集合的子集即可。因此本题的具体过程略。

3.判断一个代数系统是否是另一个代数系统的子群

解析：本题考查子群的判定。只需要判断代数系统是否是群，以及其对应的集合是否是另一个集合的子集即可。
对于A选项：容易看出运算不满足封闭性，因此该代数系统不是舞步群的子群。
对于B选项：运算满足封闭性和可结合性，存在幺元（静止不动），每个元素存在逆元为其自身。对于整个集合，是原始集合的子集，因此该代数系统是舞步群的子群。
对于C选项：通过类似的方法可以判断运算满足封闭性和可结合性，并且存在幺元且每个元素存在逆元，又存在子集关系，因此该代数系统是舞步群的子群。
对于D选项：通过类似的方法可以证明该代数系统是子群。
综上所述，本题的正确选项为BCD。

4.证明一个代数系统是另一个代数系统的子群

解析：本题考查子群判定定理的应用。这里分别尝试使用判定定理1和判定定理3来解决这个问题，这样判定子群会比直接用定义判断快得多。
首先使用判定定理1：首先，可以通过运算证明H集合运算同样满足封闭性；对于G中的幺元单位矩阵，同样存在于H中；另外，H中任意一个元素的逆元都可以计算出来，因此可以判定该代数系统H是G的子群。
再尝试使用判定定理3：容易证明H是G的非空子集，对于H中任意两个矩阵a和b，容易证明a*b^-1的结果仍然属于该集合H，由此可以快速证明H是G的子群。
可以看出，能够使用判定定理3或者2的地方就避免使用判定定理1，能够用判定定理的地方就尽量不使用定义证明子群。

5.证明一个代数系统是另一个代数系统的子群

解析：本题考查证明一个代数系统是另一个代数系统的子群，仍然采用判定定理3进行证明。
从SL集合中任取两个矩阵A和B，由于两个矩阵的行列式都为1，因此两个矩阵乘法结果的行列式也为1，由此可以判定SL是GL的子群。

6.较难的子群证明题

解析：本题考查子群的相关证明。
首先证明充分性：当AA是A的子集时，说明A上的运算※满足运算封闭性，又由于A是群G的有限非空子集，根据子群判定定理二，可以证明A是G的子群。
接着证明必要性：当A是G的子群且A是G的有限非空子集时，A上的运算※同样满足封闭性；那么就一定有AA是A的子集，证毕。

7.子群判定定理二

解析：本题考查子群判定定理二。当B是G的子集且B为有限集时，是的子群当且仅当B中的运算封闭。

8.指定群的子群个数的判定

解析：本题考查指定群的子群个数的计算。计算过程只需要参照子群的判定定理二即可，即有限非空的满足运算封闭性的集合。
本题中，就有{0}，{0,6}，{0,4,8}，{0,3,6,9}，{0,2,4,6,8,10}和自身共6个子群。

9.子群的元素判定

解析：本题考查子群的元素判定。
根据子群判定定理三，-36是36的逆元，那么由于子群的运算同样满足封闭性，那么48+（-36）的结果仍然在子群中，即12是A中的元素。

10.共轭子群的定义运用

解析：本题考查共轭子群的定义。可以通过共轭子群判定一个代数系统是另一个代数系统的子群。
由于H是G的子群，而M中的元素可以表示为xHx^-1，由此可知M是G的共轭子群，所以M是G的子群。

11.群的性质的应用

解析：本题考查群的常见性质。
根据群的常见性质可知，如果A和B都是G的子群，那么A∪B是G的子群当且仅当A=G或者B=G，由此可以证明该题。

12.群的性质的应用

解析：本题考查群的性质的应用。
采用反证法，假设G中不存在元素不在H1内且不在H2内，则H1和H2是对集合G的一个分割，那么G中的幺元一定属于H1或H2集合中的一个。根据子群的判定定理一，只有包含有G中幺元的子集才能构成子群，那么就不能存在H1和H2都是G的子群，与假设矛盾，因此假设错误。
所以G中存在元素不属于H1也不属于H2。

13.证明一个代数系统是另一个群的正规子群

解析：本题考查正规子群的定义。
只需要证明对G中任意元素g，都有gH=Hg即可。具体证明过程略。

14.找出一个群的指定阶数的子群

解析：本题考查固定题型，即求出一个群的指定阶数的子群。有时候也会求出一个群的所有子群。
对于指定的阶数m，只需要检查群中是否存在一个元素，使得该元素的1-m次幂都属于该群。如果这样的元素存在，那么这个元素的1-m次幂就共同构成该群的一个m阶的子群。