1 梯度下降算法原理

梯度下降是一种常用的优化算法，可以用来求解许包括线性回归在内的许多机器学习中的问题。前面讲解了直接使用公式求解θ\thetaθ (最小二乘法的求解推导与基于Python的底层代码实现)，但是对于复杂的函数来说，可能较难求出对应的公式，因此需要使用梯度下降。

假设我们要求解的线性回归公式是：

y=β0+β1x1+β2x2+...+βnxn+ϵy = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + ... + \beta_nx_n + \epsilony=β0+β1x1+β2x2+...+βnxn+ϵ

其中 yyy 是因变量，βi\beta_iβi 是回归系数，xix_ixi 是自变量，ϵ\epsilonϵ 是误差项。我们的目标是找到一组回归系数 βi\beta_iβi，使得模型能够最小化误差。

使用梯度下降算法求解线性回归可以分为以下步骤：

随机初始化回归系数 βi\beta_iβi。
计算模型的预测值 y^\hat{y}y^：

y^=β0+β1x1+β2x2+...+βnxn\hat{y} = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + ... + \beta_nx_ny^=β0+β1x1+β2x2+...+βnxn

计算误差（或损失函数）：

J(β0,β1,...,βn)=12m∑i=1m(yi−yi^)2J(\beta_0, \beta_1, ..., \beta_n) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(y_i - \hat{y_i})^2J(β0,β1,...,βn)=2m1i=1∑m(yi−yi^)2

其中 mmm 是样本数量，yiy_iyi 是第 iii 个样本的真实值，yi^\hat{y_i}yi^ 是对应的预测值。

计算误差对于每个回归系数的偏导数：

∂J∂βj=1m∑i=1m(yi^−yi)xij\frac{\partial J}{\partial \beta_j} = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(\hat{y_i} - y_i)x_{ij}∂βj∂J=m1i=1∑m(yi^−yi)xij

其中 xijx_{ij}xij 是第 iii 个样本的第 jjj 个特征值。

使用梯度下降更新回归系数：

βj=βj−α∂J∂βj\beta_j = \beta_j - \alpha\frac{\partial J}{\partial \beta_j}βj=βj−α∂βj∂J

其中 α\alphaα 是学习率，用来控制更新的步长。

重复步骤 2-5多次，直到误差达到某个预定的阈值或者达到预设的迭代次数。

梯度下降算法会不断迭代，直到误差最小化。通过不断更新回归系数，模型逐渐拟合数据，从而得到最终的结果。
在这里插入图片描述

（非常经典的图，已经要盘包浆了）

2 一元函数梯度下降示例代码

导入此次代码所需的包，设置绘图时正常处理中文字符。

import numpy as np  
import matplotlib as mpl  
import matplotlib.pyplot as plt  mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']  
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

定义本次要模拟的函数。为了方便起见，这里直接对函数的导数进行了定义。也可根据需要调包求梯度或者自己写一个求偏导的类。

# 一维原始图像  
def f1(x):  return 0.5 * (x - 2) ** 2  
# 导函数  
def h1(x):  return 0.5 * 2 * (x - 2)

初始化梯度下降中的参数

GD_X = []  
GD_Y = []  
x = 4  
alpha = 0.1  
f_change = 1  
f_current = f1(x)  
GD_X.append(x)  
GD_Y.append(f_current)  
iter_num = 0

此处GD_X与GD_Y两个列表分别用于存储梯度下降的每一步取值，用于后面的画图。x是梯度下降的起点，可设置为随机数。f_change用于存储执行每次循环之后，y的变化值。此处赋值的意义仅在于确保能进入下面的循环而不会报错。iter_num用于记录循环执行的次数。alpha学习率，取值过大容易难以收敛，取值过小容易增加计算量。
4. 梯度下降步骤的循环

while f_change > 1e-10 and iter_num < 1000:iter_num += 1  x = x - alpha * h1(x)  tmp = f1(x)  f_change = np.abs(f_current - tmp)  f_current  = tmp  GD_X.append(x)  GD_Y.append(f_current)

循环结束的标准为：两次循环的y值变化（即f_change）小于1e-10或循环次数大于100。
每次循环，x的变化量都是学习率乘以这一点的梯度。之后计算变化后x对应的y和变化前x对应的外，获得两次y的差值。并将每次运行的结果使用append保存到列表之中。
5. 结果输出

print(u"最终结果为:(%.5f, %.5f)" % (x, f_current))  
print(u"迭代次数:%d" % iter_num)

大概100次后，我们找到了损失函数最小值所对应的x。
6. 结果绘图

X = np.arange(-2, 6, 0.05)  
Y = np.array(list(map(lambda t: f1(t), X)))  plt.figure(facecolor='w')  
plt.plot(X, Y, 'r-', linewidth=2)  
plt.plot(GD_X, GD_Y, 'bo--', linewidth=2)  
plt.title(f'函数$y=0.5 * (θ - 2)^2$ \n学习率:{alpha:.3f}  最终解:x={x:.3f} y={f_current:.3f}  迭代次数:{iter_num}')  
plt.show()

可以自行尝试不同的起点，不同的学习速率对结果的影响。
在这里插入图片描述

3 多元函数梯度下降示例代码

当变量数为2时，梯度下降可以使用3维绘图展示。当变量书超过2时，损失函数变为超平面难以展示，因此此处以二元函数为例。

定义本次要模拟的函数。

# 二元函数定义  
def f2(x, y):  return (x - 2) ** 2 + 2* (y + 1) ** 2  
# 偏导数  
def hx2(x, y):  return 2*(x - 2)  
def hy2(x, y):  return 4*(y + 1)

与一元函数相同，我们对函数的偏导数直接定义，减少非本博客相关的代码。
2. 初始化梯度下降中的参数

GD_X1 = []  
GD_X2 = []  
GD_Y = []  
x1 = 4  
x2 = 4  
alpha = 0.01  
f_change = 1  
f_current = f2(x1, x2)  
GD_X1.append(x1)  
GD_X2.append(x2)  
GD_Y.append(f_current)  
iter_num = 0

这里与一元函数的参数基本相同，只是多了一个用于存储额外维度的listGD_X2。
3. 梯度下降步骤的循环

while f_change > 1e-10 and iter_num < 1000:  iter_num += 1  prex1 = x1  prex2 = x2  x1 = x1 - alpha * hx2(prex1, prex2)  x2 = x2 - alpha * hy2(prex1, prex2)  tmp = f2(x1, x2)  f_change = np.abs(f_current - tmp)  f_current = tmp  GD_X1.append(x1)  GD_X2.append(x2)  GD_Y.append(f_current)  print(u"最终结果为:(%.3f, %.3f, %.3f)" % (x1, x2, f_current))  
print(u"迭代次数:%d" % iter_num)

此处的逻辑与一元函数基本相同。对于每一个x，都使用对应的偏导数乘以学习速率，从而获得新的x值。如果是二元以上的多元函数同理。
运行结果为：

绘图

X1 = np.arange(-5, 5, 0.2)  
X2 = np.arange(-5, 5, 0.2)  
X1, X2 = np.meshgrid(X1, X2)  
Y = np.array(list(map(lambda t: f2(t[0], t[1]), zip(X1.flatten(), X2.flatten()))))  
Y.shape = X1.shapefig = plt.figure(facecolor='w')  
ax = Axes3D(fig)  
ax.plot_surface(X1, X2, Y, rstride=1, cstride=1, cmap=plt.cm.jet, alpha=0.8)  
ax.plot(GD_X1, GD_X2, GD_Y, 'ko-')  
ax.set_xlabel('x')  
ax.set_ylabel('y')  
ax.set_zlabel('z')  
plt.show()

对于三维数据，我们使用meshgrid构建了绘图网格，用于绘制函数图像。在绘制完函数图像的基础上，绘制梯度下降每一步的图像。绘制折线图时，ko-代表黑色、圆点、虚线。
（3D图像建议设置为单独显示，方便拖动视角查看）
在这里插入图片描述