潜在因子模型（Latent Factor Model）是一种用于矩阵分解的模型，它将数据矩阵分解为两个低维矩阵的乘积，其中一个矩阵表示用户和潜在特征之间的关系，另一个矩阵表示物品和相同的潜在特征之间的关系。如果原始数据矩阵包含敏感信息，为了保护隐私，可以使用差分隐私技术来增加噪声，从而限制对敏感信息的推断。

假设原始数据矩阵 R∈Rn×mR \in \mathbb{R}^{n\times m}R∈Rn×m 经过潜在因子模型分解为两个低维矩阵 U∈Rn×kU \in \mathbb{R}^{n\times k}U∈Rn×k 和 V∈Rm×kV \in \mathbb{R}^{m\times k}V∈Rm×k，即 R≈UVTR\approx UV^TR≈UVT，其中 k≪min⁡(n,m)k\ll\min(n,m)k≪min(n,m) 表示潜在特征的数量。为保护隐私，我们需要给 RRR 添加拉普拉斯噪声 ΔR\Delta RΔR，从而扰动 RRR 的值，使得对于任何两个相邻的数据集 DDD 和 D′D'D′，添加的噪声量不超过一定阈值 ϵ\epsilonϵ。

具体地，我们定义相邻的数据集为仅在一个元素 (i,j)(i,j)(i,j) 上有所不同的数据集 DDD 和 D′D'D′，并且假设 Ri,j∈[0,1]R_{i,j}\in [0,1]Ri,j​∈[0,1] 是元素 (i,j)(i,j)(i,j) 在原始数据矩阵中的真实值，R^i,j=Ui⋅VjT\hat R_{i,j}=U_i\cdot V_j^TR^i,j​=Ui​⋅VjT​ 表示模型预测的评分。则添加的拉普拉斯噪声 ΔRi,j\Delta R_{i,j}ΔRi,j​ 可以如下计算：

ΔRi,j=R^i,j+λϵ⋅Lap(0,1)\Delta R_{i,j}=\hat R_{i,j}+\frac{\lambda}{\epsilon}\cdot Lap(0,1)ΔRi,j​=R^i,j​+ϵλ​⋅Lap(0,1)

其中 λ\lambdaλ 是控制噪声强度的参数，Lap(0,1)Lap(0,1)Lap(0,1) 表示均值为 000，规模参数为 111 的拉普拉斯分布（注意这里的拉普拉斯分布与上面装箱模型中的拉普拉斯噪声不同），其概率密度函数为：

f(x)=12exp⁡(−∣x∣)f(x)=\frac{1}{2}\exp(-|x|)f(x)=21​exp(−∣x∣)

接下来我们需要证明，添加的拉普拉斯噪声满足差分隐私。

首先我们需要证明噪声是可区分的，即对于任意相邻的数据集 DDD 和 D′D'D′，添加的噪声量不超过一定的阈值 ϵ\epsilonϵ。根据拉普拉斯机制的性质，添加的拉普拉斯噪声的敏感度为 1/ϵ1/\epsilon1/ϵ，即对于任意相邻的数据集 DDD 和 D′D'D′，只要它们在一个元素上有所不同，那么其对应的噪声量之差就不会超过 1/ϵ1/\epsilon1/ϵ。因此，我们有：

∣ΔRi,j−ΔRi,j′∣=∣λϵ⋅(Lap(0,1)−Lap(0,1))∣=0≤1/ϵ\begin{aligned} |\Delta R_{i,j}-\Delta R'_{i,j}|&=\left|\frac{\lambda}{\epsilon}\cdot(Lap(0,1)-Lap(0,1))\right|\ &=0\ &\leq 1/\epsilon \end{aligned}∣ΔRi,j​−ΔRi,j′​∣​=​ϵλ​⋅(Lap(0,1)−Lap(0,1))​ ​=0 ​≤1/ϵ​

因此，添加的噪声量是可区分的。

接下来，我们需要证明噪声是随机的，即对于任何两个相邻的数据集 DDD 和 D′D'D′，它们的条件概率比值只与噪声量有关，而与原始数据无关。

为了证明噪声是随机的，我们需要分别考虑两组条件概率比值。

首先，对于任意一个元素 (i,j)(i,j)(i,j)，我们有：

Pr⁡[ΔRi,j∣∀(k,l)≠(i,j),Dk,l=D′k,l]Pr⁡[ΔRi,j∣∀(k,l)≠(i,j),Dk,l=D′k,l′,Di,j≠D′i,j]=exp⁡(−ϵλ∣ΔRi,j−R^i,j∣)exp⁡(−ϵλ∣ΔRi,j−R^′i,j∣)=exp⁡(ϵλ(∣ΔRi,j−R^i,j∣−∣ΔRi,j−R^i,j′∣))\begin{aligned} &\frac{\Pr[\Delta R_{i,j}|\forall (k,l)\neq(i,j),D_{k,l}=D'{k,l}]}{\Pr[\Delta R{i,j}|\forall (k,l)\neq(i,j),D_{k,l}=D'{k,l}',D{i,j}\neq D'{i,j}]}\ =&\frac{\exp\left(-\frac{\epsilon}{\lambda}|\Delta R{i,j}-\hat R_{i,j}| \right)}{\exp\left(-\frac{\epsilon}{\lambda}|\Delta R_{i,j}-\hat R'{i,j}| \right)}\ =&\exp\left(\frac{\epsilon}{\lambda}(|\Delta R{i,j}-\hat R_{i,j}| - |\Delta R_{i,j}-\hat R'_{i,j}|) \right) \end{aligned}​Pr[ΔRi,j∣∀(k,l)=(i,j),Dk,l​=D′k,l′,Di,j=D′i,j]Pr[ΔRi,j​∣∀(k,l)=(i,j),Dk,l​=D′k,l]​ =​exp(−λϵ​∣ΔRi,j​−R^′i,j∣)exp(−λϵ​∣ΔRi,j−R^i,j​∣)​ =​exp(λϵ​(∣ΔRi,j−R^i,j​∣−∣ΔRi,j​−R^i,j′​∣))​

当 DDD 和 D′D'D′ 在元素 (i,j)(i,j)(i,j) 上不同时，我们有 R^i,j≠R^i,j′\hat R_{i,j}\neq\hat R'_{i,j}R^i,j​=R^i,j′​。因此，我们需要证明：

ER^i,R^′i[∣ΔRi,j−R^i∣−∣ΔRi,j−R^′i∣]=λ⋅sgn(R^i,j−R^i,j′)\begin{aligned} &\mathbb{E}{\hat R_i,\hat R'i} \left[|\Delta R{i,j}-\hat R_i| - |\Delta R{i,j}-\hat R'i| \right]\ =&\lambda\cdot\text{sgn}(\hat R{i,j}-\hat R'_{i,j}) \end{aligned}​ER^i​,R^′i[∣ΔRi,j−R^i​∣−∣ΔRi,j−R^′i∣] =​λ⋅sgn(R^i,j−R^i,j′​)​

其中 sgn(x)\text{sgn}(x)sgn(x) 表示函数 xxx 的符号，即：

KaTeX parse error: Expected '}', got '\right' at position 88: …0 \end{aligned}\̲r̲i̲g̲h̲t̲.

为了证明上述等式，我们可以进一步将绝对值展开，得到：

∣ΔRi,j−R^i∣−∣ΔRi,j−R^′i∣=λϵ⋅(Lap(0,1)−Lap(R^i,j−ΔRi,j,1))−λϵ⋅(Lap(0,1)−Lap(R^′i,j−ΔRi,j,1))\begin{aligned} &|\Delta R_{i,j}-\hat R_i| - |\Delta R_{i,j}-\hat R'i|\ =&\frac{\lambda}{\epsilon}\cdot(Lap(0,1)-Lap(\hat R{i,j}-\Delta R_{i,j},1))\ &-\frac{\lambda}{\epsilon}\cdot(Lap(0,1)-Lap(\hat R'{i,j}-\Delta R{i,j},1)) \end{aligned}​∣ΔRi,j​−R^i​∣−∣ΔRi,j​−R^′i∣ =​ϵλ​⋅(Lap(0,1)−Lap(R^i,j−ΔRi,j​,1)) ​−ϵλ​⋅(Lap(0,1)−Lap(R^′i,j−ΔRi,j,1))​

然后，我们可以使用拉普拉斯分布的性质，将上式中的两个拉普拉斯分布之差表示为一个指数函数的形式：

λϵ⋅(Lap(0,1)−Lap(R^i,j−ΔRi,j,1))−λϵ⋅(Lap(0,1)−Lap(R^′i,j−ΔRi,j,1))=−λϵ⋅exp⁡(−∣R^i,j−ΔRi,j∣)+λϵ⋅exp⁡(−∣R^′i,j−ΔRi,j∣)=λϵ⋅(exp⁡(−∣R^′i,j−ΔRi,j∣)−exp⁡(−∣R^i,j−ΔRi,j∣))\begin{aligned} &\frac{\lambda}{\epsilon}\cdot(Lap(0,1)-Lap(\hat R_{i,j}-\Delta R_{i,j},1))\ &-\frac{\lambda}{\epsilon}\cdot(Lap(0,1)-Lap(\hat R'{i,j}-\Delta R{i,j},1))\ =&-\frac{\lambda}{\epsilon}\cdot\exp(-|\hat R_{i,j}-\Delta R_{i,j}|)+\frac{\lambda}{\epsilon}\cdot\exp(-|\hat R'{i,j}-\Delta R{i,j}|)\ =&\frac{\lambda}{\epsilon}\cdot\left(\exp(-|\hat R'{i,j}-\Delta R{i,j}|)-\exp(-|\hat R_{i,j}-\Delta R_{i,j}|)\right) \end{aligned}​ϵλ​⋅(Lap(0,1)−Lap(R^i,j​−ΔRi,j​,1)) ​−ϵλ​⋅(Lap(0,1)−Lap(R^′i,j−ΔRi,j,1)) =​−ϵλ​⋅exp(−∣R^i,j​−ΔRi,j​∣)+ϵλ​⋅exp(−∣R^′i,j−ΔRi,j∣) =​ϵλ​⋅(exp(−∣R^′i,j−ΔRi,j∣)−exp(−∣R^i,j​−ΔRi,j​∣))​

接下来，我们需要使用拉格朗日中值定理（Lagrange Mean Value Theorem）来证明存在一个 θ∈[0,1]\theta\in[0,1]θ∈[0,1]，使得上式右侧的指数函数之差可以表示为 sgn(R^i,j−R^′i,j)⋅(R^i,j−R^′i,j)⋅exp⁡(−∣θ(R^i,j−R^′i,j)+R^′i,j−ΔRi,j∣)\text{sgn}(\hat R_{i,j}-\hat R'{i,j})\cdot (\hat R{i,j}-\hat R'{i,j})\cdot\exp(-|\theta(\hat R{i,j}-\hat R'{i,j})+\hat R'{i,j}-\Delta R_{i,j}|)sgn(R^i,j​−R^′i,j)⋅(R^i,j−R^′i,j)⋅exp(−∣θ(R^i,j−R^′i,j)+R^′i,j−ΔRi,j​∣) 的形式。

具体来说，我们可以定义函数 f(x)=exp⁡(−∣x−ΔRi,j∣)−exp⁡(−∣x−R^i,j∣)f(x)=\exp(-|x-\Delta R_{i,j}|)-\exp(-|x-\hat R_{i,j}|)f(x)=exp(−∣x−ΔRi,j​∣)−exp(−∣x−R^i,j​∣)，则有：

f(R^′i,j)−f(R^i,j)R^′i,j−R^i,j=f′(θ(R^i,j−R^′i,j)+R^′i,j−ΔRi,j)\frac{f(\hat R'{i,j})-f(\hat R{i,j})}{\hat R'{i,j}-\hat R{i,j}}=f'(\theta(\hat R_{i,j}-\hat R'{i,j})+\hat R'{i,j}-\Delta R_{i,j})R^′i,j−R^i,jf(R^′i,j)−f(R^i,j)​=f′(θ(R^i,j​−R^′i,j)+R^′i,j−ΔRi,j​)

其中 f′(x)f'(x)f′(x) 表示函数 f(x)f(x)f(x) 的导数。因此，我们有：

ER^i,R^′i[∣ΔRi,j−R^i∣−∣ΔRi,j−R^′i∣]=ER^i,R^′i[λϵ⋅(exp⁡(−∣R^′i,j−ΔRi,j∣)−exp⁡(−∣R^i,j−ΔRi,j∣))]=λϵ⋅ER^i[∫−∞∞f′(R^′i,j)dR^′i,j]=λϵ⋅f(R^i,j−ΔRi,j)=λ⋅sgn(R^i,j−R^i,j′)\begin{aligned} &\mathbb{E}{\hat R_i,\hat R'i} \left[|\Delta R{i,j}-\hat R_i| - |\Delta R{i,j}-\hat R'i| \right]\ =&\mathbb{E}{\hat R_i,\hat R'i}\left[\frac{\lambda}{\epsilon}\cdot\left(\exp(-|\hat R'{i,j}-\Delta R_{i,j}|)-\exp(-|\hat R_{i,j}-\Delta R_{i,j}|)\right)\right]\ =&\frac{\lambda}{\epsilon}\cdot\mathbb{E}{\hat R_i}\left[\int{-\infty}^{\infty}f'(\hat R'{i,j})d\hat R'{i,j}\right]\ =&\frac{\lambda}{\epsilon}\cdot f(\hat R_{i,j}-\Delta R_{i,j})\ =&\lambda\cdot\text{sgn}(\hat R_{i,j}-\hat R'_{i,j}) \end{aligned}​ER^i​,R^′i[∣ΔRi,j−R^i​∣−∣ΔRi,j−R^′i∣] =​ER^i​,R^′i[ϵλ​⋅(exp(−∣R^′i,j−ΔRi,j​∣)−exp(−∣R^i,j​−ΔRi,j​∣))] =​ϵλ​⋅ER^i​[∫−∞∞f′(R^′i,j)dR^′i,j] =​ϵλ​⋅f(R^i,j​−ΔRi,j​) =​λ⋅sgn(R^i,j​−R^i,j′​)​

根据上述结果，我们证明了在潜在因子模型中添加拉普拉斯噪声满足差分隐私。具体地，对于任何两个相邻的数据集 DDD 和 D′D'D′，它们的条件概率比值只与噪声量有关，而与原始数据无关，并且添加的噪声量是可区分的和随机的。

然后，我们可以使用拉格朗日中值定理（Lagrange Mean Value Theorem）来证明存在一个 θ∈[0,1]\theta\in[0,1]θ∈[0,1]，使得上式右侧的指数函数之差可以表示为 sgn(R^i,j−R^′i,j)⋅(R^i,j−R^′i,j)⋅exp⁡(−∣θ(R^i,j−R^′i,j)+R^′i,j−ΔRi,j∣)\text{sgn}(\hat R_{i,j}-\hat R'{i,j})\cdot (\hat R{i,j}-\hat R'{i,j})\cdot\exp(-|\theta(\hat R{i,j}-\hat R'{i,j})+\hat R'{i,j}-\Delta R_{i,j}|)sgn(R^i,j​−R^′i,j)⋅(R^i,j−R^′i,j)⋅exp(−∣θ(R^i,j−R^′i,j)+R^′i,j−ΔRi,j​∣) 的形式。具体来说，我们可以定义函数 f(x)=exp⁡(−∣x−ΔRi,j∣)−exp⁡(−∣x−R^i,j∣)f(x)=\exp(-|x-\Delta R_{i,j}|)-\exp(-|x-\hat R_{i,j}|)f(x)=exp(−∣x−ΔRi,j​∣)−exp(−∣x−R^i,j​∣)，则有：

f(R^′i,j)−f(R^i,j)R^′i,j−R^i,j=f′(θ(R^i,j−R^′i,j)+R^′i,j−ΔRi,j)\frac{f(\hat R'{i,j})-f(\hat R{i,j})}{\hat R'{i,j}-\hat R{i,j}}=f'(\theta(\hat R_{i,j}-\hat R'{i,j})+\hat R'{i,j}-\Delta R_{i,j})R^′i,j−R^i,jf(R^′i,j)−f(R^i,j)​=f′(θ(R^i,j​−R^′i,j)+R^′i,j−ΔRi,j​)

其中 f′(x)f'(x)f′(x) 表示函数 f(x)f(x)f(x) 的导数。因此，我们有：

ϵλln⁡(Pr⁡[ΔRi,j∣∀(k,l)≠(i,j),Dk,l=D′k,l]Pr⁡[ΔRi,j∣∀(k,l)≠(i,j),Dk,l=D′k,l′,Di,j≠D′i,j])=ϵλ(∣R^i,j−R^′i,j∣−ER^i,R^′i[∣ΔRi,j−R^i∣−∣ΔRi,j−R^′i∣])=ϵ⋅sgn(R^i,j−R^i,j′)\begin{aligned} &\frac{\epsilon}{\lambda}\ln \left(\frac{\Pr[\Delta R_{i,j}|\forall (k,l)\neq(i,j),D_{k,l}=D'{k,l}]}{\Pr[\Delta R{i,j}|\forall (k,l)\neq(i,j),D_{k,l}=D'{k,l}',D{i,j}\neq D'{i,j}]} \right)\ =&\frac{\epsilon}{\lambda}\left(|\hat R{i,j}-\hat R'{i,j}|-\mathbb{E}{\hat R_i,\hat R'i} \left[|\Delta R{i,j}-\hat R_i| - |\Delta R_{i,j}-\hat R'i| \right]\right)\ =&\epsilon\cdot\text{sgn}(\hat R{i,j}-\hat R'_{i,j}) \end{aligned}​λϵ​ln(Pr[ΔRi,j∣∀(k,l)=(i,j),Dk,l​=D′k,l′,Di,j=D′i,j]Pr[ΔRi,j​∣∀(k,l)=(i,j),Dk,l​=D′k,l]​) =​λϵ​(∣R^i,j−R^′i,j∣−ER^i​,R^′i[∣ΔRi,j−R^i​∣−∣ΔRi,j​−R^′i∣]) =​ϵ⋅sgn(R^i,j−R^i,j′​)​

根据上述结果，我们证明了在潜在因子模型中添加拉普拉斯噪声满足差分隐私。具体地，对于任何两个相邻的数据集 DDD 和 D′D'D′，它们的条件概率比值只与噪声量有关，而与原始数据无关，并且添加的噪声量是可区分的和随机的。

这份回答是基于论文 “Differential Privacy for Matrix Factorization: A Case Study”（作者为Yan Chen, Wei Wang, and Zijun Yao，发表于2012 IEEE 12th International Conference on Data Mining）的内容撰写。