CNN的反向传播过程，从原理上讲，与普通的反向传播相同（都使用了链式法则），从具体形式上讲，CNN的反向传播公式又比较特殊，这是因为CNN独有的4个特点：

1. 局部感知：卷积核和图像卷积时，每次卷积核所覆盖的像素只是一小部分。这一小部分也叫做感受野。
2. 权值共享：同一层的每个感受野被卷积时，卷积参数都是相同的。
3. 多卷积核：同一层的每个感受野可能被多个不同的卷积核分别进行卷积，输出多个通道（每个卷积核的结果是一个通道）。
4. 池化：下采样过程，图像经过池化后，大小会缩小一定倍数。

一般的反向传播

一般的反向传播（即全连接网络）的公式如下：

δ(l)i∂J(θ)∂w(l)ij∂J(θ)∂b(l)i=g′(z(l)i)∑j=1Sl+1δ(l+1)jw(l)ji=δ(l+1)ia(l)j=δ(l+1)iδ i ( l ) = g ′ ( z i ( l ) ) ∑ j = 1 S l + 1 δ j ( l + 1 ) w j i ( l ) ∂ J ( θ ) ∂ w i j ( l ) = δ i ( l + 1 ) a j ( l ) ∂ J ( θ ) ∂ b i ( l ) = δ i ( l + 1 )

向量形式的表达如下：

δ(l)∂J(θ)∂W(l)∂J(θ)∂b(l)=(W(l))Tδ(l+1)∘g′(z(l))=δ(l+1)(a(l))T=δ(l+1)δ ( l ) = ( W ( l ) ) T δ ( l + 1 ) ∘ g ′ ( z ( l ) ) ∂ J ( θ ) ∂ W ( l ) = δ ( l + 1 ) ( a ( l ) ) T ∂ J ( θ ) ∂ b ( l ) = δ ( l + 1 )

详细推导过程见 反向传播算法的公式推导

反向传播公式的分析

1、对于敏感度的传播： δ(l)i=g′(z(l)i)∑Sl+1j=1δ(l+1)jw(l)ji δ i ( l ) = g ′ ( z i ( l ) ) ∑ j = 1 S l + 1 δ j ( l + 1 ) w j i ( l ) ，可以直接根据链式法则去解释它：
（1）根据前向传播规则， δ(l)i δ i ( l ) 的改变，先影响了此节点的输出值，然后影响了下一层所有的 δ(l+1)j δ j ( l + 1 ) 。
（2）根据链式法则，此节点由输入到输出，其梯度需要乘以 g′(z(l)i) g ′ ( z i ( l ) ) 。
（3）然后根据多元函数的链式法则，由节点输出到下一层所有节点的输入，其梯度等于所有下一层节点的敏感度的加权和，权值即为对应的 w(l)ji w j i ( l ) 。
总结：
要求一个点的敏感度，只需要看这个点如果变化了，会影响到下一层的哪些点，然后累加上这些点的敏感度*权值。权值越大，下一个点的变化量就会越大，最后传播到最后一层的变化量就会越大，如同蝴蝶效应，因此对于此点的导数就越大，因此需要乘以权值，而不是除以。如果从这一层的输入到下一层的输入需要串联一个激活函数，则需要乘以这个激活函数的导数。
2、同理，可以分析W的求导公式 ∂J(θ)∂w(l)ij=δ(l+1)ia(l)j ∂ J ( θ ) ∂ w i j ( l ) = δ i ( l + 1 ) a j ( l ) ：
w(l)ij w i j ( l ) 的变化只会影响到下一层的第 i 个节点的输入值，且变化值会被放大 a(l)j a j ( l ) 倍，因此为 δ(l+1)ia(l)j δ i ( l + 1 ) a j ( l ) 。
3、同理，可以分析W的求导公式 ∂J(θ)∂b(l)i=δ(l+1)i ∂ J ( θ ) ∂ b i ( l ) = δ i ( l + 1 ) ：
b(l)i b i ( l ) 的变化只会影响到下一层的第 i 个节点的输入值，且没有放大倍数，因为偏置的输入永远是1。

CNN的反向传播

由于CNN一般包含了多个（卷积层 − − > 池化层）的组合，我们将分别对两种层的反向传播进行分析。

1、卷积层

在一个卷积层，前一层的特征图被多个卷积核所卷积，然后通过一个激活函数，最后组成了输出的特征图。每一个输出特征图可能是多个输入特征图的组合的卷积结果。因此，如果第 l−1 l − 1 层经过卷积后到达第 l l 层，则前向传播过程为

xlj=f(∑i∈Mjxl−1i∗klij+blj)x j l = f ( ∑ i ∈ M j x i l − 1 ∗ k i j l + b j l )

其中，
（1） f f 为激活函数。
（2） Mj M j 为第 j j 个卷积核所作用的第 l−1 l − 1 层的特征图的集合，集合大小即为第 l l 层第 j j 个卷积核的卷积层数。
（3） xlj x j l 为第 l l 层第 j j 通道的输出特征图（是一个矩阵）。
（4） klij k i j l 为第 l−1 l − 1 层到第 l l 层的第 j j 个卷积核、且只取与第 l−1 l − 1 层第 i i 个通道相连接的卷积层（也是一个矩阵）。
（5） blj b j l 为第 l−1 l − 1 层到第 l l 层的第 j j 个卷积核的偏置。
（6） ∗ ∗ 表示卷积作用。
注意， ∑i∈Mjxl−1i∗klij ∑ i ∈ M j x i l − 1 ∗ k i j l 的结果是一个矩阵，后面的加法表示矩阵上的每一个元素都加上 blj b j l ，然后每一个元素被激活函数作用，最后仍然是一个矩阵。
对于卷积层的反向传播，根据上述反向传播公式的分析，很容易理解公式：

δl−1j(uv)=f′(ul−1j(uv))∑i∈AjB(δli)∗rot180(klji)δ j ( u v ) l − 1 = f ′ ( u j ( u v ) l − 1 ) ∑ i ∈ A j B ( δ i l ) ∗ r o t 180 ( k j i l )

解释：
（1） δl−1j(uv) δ j ( u v ) l − 1 为第 l−1 l − 1 层第 j j 个通道第 u u 行第 v v 列的输入的梯度。
（2） ul−1j(uv) u j ( u v ) l − 1 为第 l−1 l − 1 层第 j j 个通道第 u u 行第 v v 列的输入。
（3） Aj A j 为卷积范围包括第 l−1 l − 1 层第 j j 个通道的卷积核的集合，集合大小不定。
（4） δli δ i l 为第 l l 层第 i i 个通道的输入的梯度。
（5） B(δli) B ( δ i l ) 为 δli δ i l 的局部块，这个局部块里的每个位置的输入都是卷积得到的，卷积过程都与 ul−1j(uv) u j ( u v ) l − 1 有关。
（6） rot180(.) r o t 180 ( . ) 表示将矩阵旋转180度，即既进行列翻转又进行行翻转。

∂J∂klij(uv)=δlj(uv)∗P(xl−1i)∂ J ∂ k i j ( u v ) l = δ j ( u v ) l ∗ P ( x i l − 1 )

解释：
（1） klij(uv) k i j ( u v ) l 为第 l−1 l − 1 层到第 l l 层的第 j j 个卷积核中与第 l−1 l − 1 层第 i i 个通道相连接的卷积层上的第 u u 行第 v v 列的值。
（2） δlj(uv) δ j ( u v ) l 为第 l l 层第 j j 个通道第 u u 行第 v v 列的输入的梯度。
（3） xl−1i x i l − 1 为第 l−1 l − 1 层第 i i 通道的输出特征图。
（4） P(xl−1i) P ( x i l − 1 ) 为 xl−1i x i l − 1 的局部块，这个局部块中的每个元素都会在卷积过程中直接与 klij(uv) k i j ( u v ) l 相乘。

∂J∂blj=∑u,v(δlj)uv∂ J ∂ b j l = ∑ u , v ( δ j l ) u v

解释：
（1） blj b j l 为第 l−1 l − 1 层到第 l l 层的第 j j 个卷积核的偏置。
（2） δlj δ j l 为第 l l 层第 j j 个通道的输入的梯度。

2、池化层

如果对第 l l 层进行池化得到第 l+1 l + 1 层，则前向传播过程为：

xl+1j=f(βl+1jdown(xlj)+bl+1j)x j l + 1 = f ( β j l + 1 d o w n ( x j l ) + b j l + 1 )

其中：
（1） down(.) d o w n ( . ) 是一个下采样方法。典型地，此方法会将每一个独立的 n*n 块中的元素进行相加，这样输出图像的长和宽都比原图小了 n 倍。
（2）每一个下采样之后的特征图都乘以了 β β 并加上偏置 b b ，且不同的特征层的乘子和偏置不同，用下标 j 区分。
反向传播公式为：

δlj=βl+1j(f′(ulj)∘up(δl+1j))δ j l = β j l + 1 ( f ′ ( u j l ) ∘ u p ( δ j l + 1 ) )

解释：
（1） δlj δ j l 为第 l l 层第 j j 个通道的输入的梯度，是一个矩阵。
（2） up(δl+1j) u p ( δ j l + 1 ) 为上采样操作，将每个元素在两个维度上都展开 n 次，n 为 down(.) d o w n ( . ) 下采样时缩小的倍数。其中一种方法是所有展开的元素都与原元素相同，即 up(x)=x⊗1n×n u p ( x ) = x ⊗ 1 n × n 。

∂J∂bl+1j=∑u,v(δl+1j)uv∂ J ∂ b j l + 1 = ∑ u , v ( δ j l + 1 ) u v

解释：
（1） bl+1j b j l + 1 为下采样结果传递到第 l+1 l + 1 层后第 j j 个特征层需要乘以的因子。
（2） bl+1j b j l + 1 影响了 δl+1j δ j l + 1 上的所有点，因此需要累加。

∂J∂βl+1j=∑u,v(δl+1j∘dl+1j)uv∂ J ∂ β j l + 1 = ∑ u , v ( δ j l + 1 ∘ d j l + 1 ) u v

解释：
（1） dl+1j=down(xlj) d j l + 1 = d o w n ( x j l ) ，为下采样结果。
（2） βl+1j β j l + 1 影响了 δl+1j δ j l + 1 上的所有点，因此需要累加，且被下采样后的结果放大了，因此需要乘以下采样结果。

参考

[1] Bouvrie J. Notes on convolutional neural networks[J]. 2006.