文章目录

• 背景
• 如何构造
• 为什么f(0)=1f(0)=1f(0)=1
• 为什么 exe^xex 这个函数要写成指数函数形式
• 求出 e 的具体数值
• e 在微积分中的应用（复利的极限）

背景

• 这些天在补自己的微积分短板，刚好看到 MIT 教授讲微积分的系列视频，看到了人家对于 exe^xex 的推导豁然开朗，于是整理一下思路希望能够帮助到和我一样数学基础不怎么好的人。
• MIT 的视频
• exe^xex 是 人为构造 的一个函数，人们试图构造一种函数，想让这种函数的微分dfdx\frac{df}{dx}dxdf​ 与其自身是一致的， dfdx=f(x)\frac{df}{dx}=f(x)dxdf​=f(x) 我们把这个具有奇特性质函数表示为 exe^xex 称为 自然常数为底数的指数函数。
• 在下面的内容中我们讨论两个问题：
  • 这种奇特的函数如何构造出来的
  • 这种奇特的函数为什么最终被划定为指数函数

如何构造

• 假设这个函数在 000 处的值 f(0)=1f(0)=1f(0)=1
• 为了更好地演示这个函数 f(x)f(x)f(x) 的构造过程，我们用下面的两行来表示，第一行表示的是 f(x)f(x)f(x) 的构造过程，第二行表示的是 dfdx\frac{df}{dx}dxdf​ 紧随其后的演变过程

第一行： f(x)=1f(x)=1f(x)=1
第二行：dfdx=1\frac{df}{dx}=1dxdf​=1

• 当 dfdx=1\frac{df}{dx}=1dxdf​=1 的时候，就强迫 f(x)f(x)f(x) 中就必须有一项 xxx，否则 f(x)f(x)f(x) 求导之后就是 000 了，为了保证求导后能够有 111 这个项，所以 f(x)f(x)f(x) 进化成了：

f(x)=1+xf(x)=1+xf(x)=1+x

• 为了保持一致，

dfdx=1+x\frac{df}{dx}=1+xdxdf​=1+x

• 而因为 dfdx\frac{df}{dx}dxdf​ 中出现了 xxx，这就导致 f(x)f(x)f(x) 必须再多一个 12x2\frac{1}{2}x^221​x2 因为只有这个东西求导之后为 xxx，因此

f(x)=1+x+12x2f(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2f(x)=1+x+21​x2

• 同样滴，dfdx\frac{df}{dx}dxdf​ 也得要这个 12x2\frac{1}{2}x^221​x2 项，所以：

dfdx=1+x+12x2\frac{df}{dx}=1+x+\frac{1}{2}x^2dxdf​=1+x+21​x2

• 数个步骤之后，两行公式变成了：

第一行：f(x)=1+x+12x2+16x3+124x4f(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4f(x)=1+x+21​x2+61​x3+241​x4
第二行：dfdx=1+x+12x2+16x3\frac{df}{dx}=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3dxdf​=1+x+21​x2+61​x3

• 到这一步，dfdx\frac{df}{dx}dxdf​ 还是要加上那个 124x4\frac{1}{24}x^4241​x4 才能与 f(x)f(x)f(x) 保持一致，按照这个势头下去，这是一个永远追逐下去的演变，无论是 f(x)f(x)f(x) 还是 dfdx\frac{df}{dx}dxdf​ 都在增加无数个后项，而 f(x)f(x)f(x) 永远都多一项。
• 但是让我们先看一下规律，假设我们给 f(x)f(x)f(x) 中每一项都加一个索引，即：第 000 项，第 111 项，第 222 项…第 nnn 项，那么 f(x)=1+x+12x2+16x3+124x4+...+1n(n−1)(n−2)...×1xnf(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+...+\frac{1}{n(n-1)(n-2)...\times1}x^{n}f(x)=1+x+21​x2+61​x3+241​x4+...+n(n−1)(n−2)...×11​xn
• 同时 dfdx\frac{df}{dx}dxdf​ 紧随其后：
  dfdx=1+x+12x2+16x3+124x4+...+1(n−1)(n−2)...×1xn−1\frac{df}{dx}=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+...+\frac{1}{(n-1)(n-2)...\times1}x^{n-1}dxdf​=1+x+21​x2+61​x3+241​x4+...+(n−1)(n−2)...×11​xn−1
• 现在 dfdx\frac{df}{dx}dxdf​ 就比 f(x)f(x)f(x) 少一项，只要加上这一项，马上 dfdx\frac{df}{dx}dxdf​ 就会达到和 f(x)f(x)f(x) 完全一样的形态。但问题是，虽然看起来这个循环（互相追逐）是要永远没头地持续下去了，而且 f(x)f(x)f(x) 永远多一项，但是这里体现的数学之美妙在于：xnx^nxn 的增长速度远远小于他的分母，即 n(n−1)(n−2)...×1n(n-1)(n-2)...\times 1n(n−1)(n−2)...×1 所以，在不知道经过了多少次拖尾之后，这个多出来的的一项在求极限的时候，就是 000，因此 f(x)=dfdxf(x)=\frac{df}{dx}f(x)=dxdf​
• 所以我们现在构造出了 exe^xex ，而他的导数等于它本身。

为什么f(0)=1f(0)=1f(0)=1

• 假设 f(0)=0f(0)=0f(0)=0 那么：

f(x)=0f(x)=0f(x)=0
dfdx=0\frac{df}{dx}=0dxdf​=0

• 这种情况下 f(x)f(x)f(x) 已经与 dfdx\frac{df}{dx}dxdf​ 相等了。。。那这样的话 f(x)f(x)f(x) 不需要再增加后面的项来保持 f(x)=dfdxf(x)=\frac{df}{dx}f(x)=dxdf​ 这个性质了，因为已经成立了
• 假设 f(0)=5f(0)=5f(0)=5

f(x)=5f(x)=5f(x)=5
dfdx=5\frac{df}{dx}=5dxdf​=5

• 那么接下来 f(x)=5+5x...f(x)=5+5x...f(x)=5+5x... 这其实和 f(x)=1+xf(x)=1+xf(x)=1+x 并没有本质的区别

其实，我也不知道为什么这个 f(x)f(x)f(x) 要从 111 开始，但是假设你是从 111 开始，那么你就可以认为在这种情况下 f(x)f(x)f(x) 要保持 dfdx\frac{df}{dx}dxdf​一致就得按照第一部分的推导来得到 exe^xex

为什么 exe^xex 这个函数要写成指数函数形式

• 假设我的那个 f(x)f(x)f(x) 目前不知道该写成一个什么形式的函数，那么为什么最终就选定了将这个 f(x)f(x)f(x) 归为一个指数函数 exe^xex 了呢？那肯定是因为他具备指数函数的性质。下面就让我们看一下 exe^xex 是否具有指数函数的性质。

• 现在有一个 exe^xex 一个 eye^yey 如果是指数函数，那么 exey=e(x+y)e^x e^y=e^{(x+y)}exey=e(x+y)

• 首先还是先展开：
  ex=1+x+12x2‾+16x3+124x4+...+1n(n−1)(n−2)...×1xne^x=\underline{1+x+\frac{1}{2}x^2}+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+...+\frac{1}{n(n-1)(n-2)...\times1}x^{n}ex=1+x+21​x2​+61​x3+241​x4+...+n(n−1)(n−2)...×11​xn
  ey=1+y+12y2‾+16y3+124y4+...+1n(n−1)(n−2)...×1yne^y=\underline{1+y+\frac{1}{2}y^2}+\frac{1}{6}y^3+\frac{1}{24}y^4+...+\frac{1}{n(n-1)(n-2)...\times1}y^{n}ey=1+y+21​y2​+61​y3+241​y4+...+n(n−1)(n−2)...×11​yn

• 为了简单来看下，我们只取每个函数的前三项做一下相乘：
  exey=1+y+12y2+x+xy+12xy2+12x2+12x2y+12x2y2e^xe^y=1+y+\frac{1}{2}y^2\\+x+xy+\frac{1}{2}xy^2\\+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}x^2y^2exey=1+y+21​y2+x+xy+21​xy2+21​x2+21​x2y+21​x2y2

• 化简一下：
  exey=1+x+y+xy+12(x2+y2)+12xy2+12x2y+12x2y2e^xe^y=1+x+y+xy+\frac{1}{2}(x^2+y^2)+\frac{1}{2}xy^2+\frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}x^2y^2exey=1+x+y+xy+21​(x2+y2)+21​xy2+21​x2y+21​x2y2
  exey=1+(x+y)+12(x+y)2‾+12xy2+12x2y+12x2y2e^xe^y=\underline{1 + (x+y) + \frac{1}{2}(x+y)^2}+\frac{1}{2}xy^2+\frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}x^2y^2exey=1+(x+y)+21​(x+y)2​+21​xy2+21​x2y+21​x2y2

• 下划线标出的部分就是 e(x+y)e^{(x+y)}e(x+y) 中的前三项，后面的那些多余的项如果你把 exe^xex 和 eye^yey 的更多项展开，也会发现是一样的符合这个规律，所以：exey=e(x+y)e^xe^y=e^{(x+y)}exey=e(x+y) 因此这符合指数函数的性质。

• 而且 exe^xex 在 x=0x=0x=0 时也确实 =1=1=1

• 所以我们把 exe^xex 称为自然底数的指数函数。

求出 e 的具体数值

ex=1+x+12x2+16x3+124x4+...+1n(n−1)(n−2)...×1xne^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+...+\frac{1}{n(n-1)(n-2)...\times1}x^{n}ex=1+x+21​x2+61​x3+241​x4+...+n(n−1)(n−2)...×11​xn

• 事实上，之所以 e=2.71828e=2.71828e=2.71828 是因为当你拿到上面这个 exe^xex 的指数级数公式，将 111 带入就可以得到：

e1=1+1+1212+1613+12414+...+1n(n−1)(n−2)...×11ne^1=1+1+\frac{1}{2}1^2+\frac{1}{6}1^3+\frac{1}{24}1^4+...+\frac{1}{n(n-1)(n-2)...\times1}1^{n}e1=1+1+21​12+61​13+241​14+...+n(n−1)(n−2)...×11​1n

• 这个级数是收敛的（这个我们已经说过，因为越往后他的值就越往 0 收敛），所以这个数肯定是大于 e1=1+1+1212+1613+12414e^1=1+1+\frac{1}{2}1^2+\frac{1}{6}1^3+\frac{1}{24}1^4e1=1+1+21​12+61​13+241​14 但一定是小于 333 的
• 经过更加精确的计算之后，你就可以得到 e=2.71828e=2.71828e=2.71828

e 在微积分中的应用（复利的极限）

• 假设现在你在银行里存了 111 块钱，按照每年 100%100\%100% 的利息支付给你，你的钱在经过一年之后会变成 222 块钱。经过 nnn 年之后会变成 2n2^n2n 元钱
• 但是如果银行比较勤快，每天给你计算一次利息，但是还是按照每年复利 100%100\%100% 的利率。也就是每天复利 1365\frac{1}{365}3651​ 那么这个时候你第二天获得的金额就是 (1+1365)2(1+\frac{1}{365})^2(1+3651​)2 一年之后，你的金额会变成 (1+1365)365(1+\frac{1}{365})^{365}(1+3651​)365，这个数肯定是大于 222 的。也就是说，在年复利率在定值的时候，银行给你算的越勤快（按天），你实际获得的钱就越多。那这个钱可以无限大么？不可以，那他的极限是多少呢？
• 假设银行计算你的收益无限频繁，导致一年内给你算了 NNN 次，那么在年复利率 100%100\%100% 的情况下，你的收益最多是 (1+1N)N(1+\frac{1}{N})^N(1+N1​)N 而这个数的极限是 eee，也就是说 111 元钱在年复利率 100%100\%100% 的情况下的最大收益是第二年变成 2.72.72.7 元钱