经过了长期对事物的观察，人们发现了自然界的大多数事物都是按一定的比例组合的，由此，数学家们就发明了线性组合的概念。我举个例子，我们开发HTML代码时，总会配颜色，黄色就等于255红加上255绿。所以黄色就是红绿蓝的一种线性组合。
  通俗地讲，所有的线性组合放在一个集合里就变成了线性空间，那为什么要有线性空间呢？原因是可以把组合本身的各个配比单独抽出来，因为配比本身就是一组数字，这样就只需要研究这组数字就行了。这样大大降低了研究计算的复杂度。拿颜色的配比来说，红绿蓝三原色，组成了颜色空间。那么一个配比本身，在数学上就叫向量，比如黄色的向量就是(255,255,0)T(255,255,0)^T(255,255,0)T.
  而组合后面的具体事物，就叫做线性空间的自然基。比如颜色空间的自然基就是红绿蓝三原色。当然颜色空间并不是特别严谨的数学上上的线性空间，以255为最大值的颜色加法来说，两个255加起来还是255，这点就不太符合数学上对线性空间的严格定义。但是颜色空间这个例子能比较容易地理解线性空间，所以我还是举了颜色空间做例子。
  简单地讲明白了啥是线性空间后，我再介绍下数学中最常用的三大线性空间：欧几里得空间、多项式空间和矩阵空间。

欧几里得空间

  前面讲了要理解线性空间，就得有线性组合的概念，而三维空间的每个点，可以看成是x、y、z三个坐标的组合，比如点(1,3,1)(1,3,1)(1,3,1),就是xxx轴坐标为1，yyy轴坐标为3，zzz轴坐标为1的线性组合，所以就可以用向量(1,3,1)T(1,3,1)^T(1,3,1)T来代表这个点。
  欧几里得空间特殊之处在于它有向量长度，向量夹角，内积之类的概念，比其他的线性空间多了很多内容，广泛应用于物理上运动学计算、计算机3D建模动画之类，所以说是最重要的线性空间。
  三维欧几里得空间在数学上有个符号，叫做R3R^3R3，其他维度就是右上角的数字对应变化就行了。

多项式空间

  多项式也是数学中的重要内容，一个多项式可以看作是各次幂的线性组合，举个例子：3x2+x2+4x+73x^2+x^2+4x+73x2+x2+4x+7这个多项式，可以看成是1,x,x2,x31,x,x^2,x^31,x,x2,x3四个自然基的线性组合，所以可以用向量(7,4,1,3)T(7,4,1,3)^T(7,4,1,3)T来表示这个多项式。
  多项式的乘法并不能直接用向量乘法来计算，但是可以变成矩阵乘法，我举个例子，用2x2+12x^2+12x2+1去乘以其他最高两次幂多项式可以用这个矩阵去做：
(100010201020002)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎛​10200​01020​00102​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​
  比如乘以3x2+x+23x^2+x+23x2+x+2可以用矩阵乘法：
(100010201020002)(213)=(21726)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 7\\ 2\\ 6 \end{pmatrix}\\ ⎝⎜⎜⎜⎜⎛​10200​01020​00102​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​⎝⎛​213​⎠⎞​=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​21726​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​
  最后结果就是(2x2+1)(3x2+x+2)=6x4+2x3+7x2+x+2(2x^2+1)(3x^2+x+2)=6x^4+2x^3+7x^2+x+2(2x2+1)(3x2+x+2)=6x4+2x3+7x2+x+2。所以多项式乘法也变得很方便了，可以使用矩阵乘法去计算了。提前透露下，多项式的求导都可以转变为矩阵乘法哦。

矩阵空间

  矩阵空间是把每个矩阵看成是各个位置上只有一个1，其他全为0的矩阵的线性组合。比如下面这个矩阵：
(2143)\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3\\ \end{pmatrix}\\ (24​13​)
  可以看成下面四个矩阵的线性组合：
(1000)(0100)(0010)(0001)\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}\\ (10​00​)(00​10​)(01​00​)(00​01​)
  所以可以用矩阵在这四个基的坐标向量(1,2,4,3)T(1,2,4,3)^T(1,2,4,3)T表示这个矩阵，上述2×22\times 22×2矩阵空间的符号为R2×2R^{2\times 2}R2×2.如果是复矩阵，把RRR换成CCC就好了。