经典论文阅读之-GICP（ICP大一统）
0. 简介
作为常用的配准方法，ICP和NDT两种匹配被广泛应用于激光雷达的点云配准方法中。我们知道IPC的匹配主要是描述了点到点的匹配方法，而无法胜任点到面以及面到面的匹配，而本博客主要就是将向读者分析《Generalized-ICP》这篇论文，GICP可以通过点到点的距离作为损失函数求解point-to-point的损失函数，点到局部目标点局部拟合的平面距离作为point-to-plane的损失函数，而文中主要提到的plane-to-plane损失函数则是假设点云具有平面特征，这意味着在3D空间处理采样2D流形。
1. GICP统一模型
GICP引入了概率信息（使用协方差阵），提出了ICP的统一模型。本文方法的核心思想是如何从概率的角度去看待和推导出ICP算法的目标函数。这里我们直接看原文就好，原文提到：
假设有两个匹配好的点集，A={ai}i=1,2...N,B={bi}i=1,2...NA = \{a_i\}_{i = 1 , 2... N} , B = \{ b_i \}_{i = 1 , 2... N}A={ai}i=1,2...N,B={bi}i=1,2...N , 且 aia_iai和 bib_ibi 是对应点（A为source，B为target）
再假设两个点云中的每个点，都是服从高斯分布的，其原因是由于测量等环节的误差，每个点的位置的测量值实际上是和真值ai^,bi^\hat{a_i},\hat{b_i}ai^,bi^存在偏差
ai∼N(ai^,CiA)bi∼N(bi^,CiB)a_i\sim \mathcal{N}(\hat{a_i},C_i^{A})\\ b_i\sim \mathcal{N}(\hat{b_i},C_i^{B})ai∼N(ai^,CiA)bi∼N(bi^,CiB)
对于ai^,bi^\hat{a_i},\hat{b_i}ai^,bi^有：
b^i=T∗a^\hat{b}_i=T^*\hat{a}b^i=T∗a^
T∗T^*T∗（注意有上标∗^*∗）是理想中的correct rigid transform。代表了两个点云真实的转换关系，我们需要一个目标函数来寻找出最佳的T∗T^*T∗，以下是目标函数的推导过程：
首先定义残差di(T)=bi−Taid_i^{(T)}=b_i-Ta_idi(T)=bi−Tai，di(T)d_i^{(T)}di(T)代表了对原始点云使用TTT做转换后，第iii个点对的有向距离。
它是由分布采样而来
di(T)∼N(bi^,CiB)−TN(ai^,CiA)=N(bi^−Tai^,CiB+(T)CiA(T)T)\begin{aligned}d_i^{(T)} &\sim \mathcal{N}(\hat{b_i},C_i^{B}) - T \mathcal{N}(\hat{a_i},C_i^{A}) \\ &= \mathcal{N}(\hat{b_i}-T\hat{a_i},C_i^{B}+(T)C_i^{A}(T)^T)\end{aligned}di(T)∼N(bi^,CiB)−TN(ai^,CiA)=N(bi^−Tai^,CiB+(T)CiA(T)T)
其中的等号变换可以参考这篇文章。
因为ai,bia_i,b_iai,bi都被我们假设为独立的、服从高斯分布的随机变量，所以将上式中的TTT替换为T∗T^*T∗，则可以变为：
diT∗∼N(bi^,CiB)−T∗N(ai^,CiA)=N(bi^−T∗ai^,CiB+(T∗)CiA(T∗)T)=N(0,CiB+(T∗)CiA(T∗)T)\begin{aligned}d_i^{T*} &\sim \mathcal{N}(\hat{b_i},C_i^{B}) - T^* \mathcal{N}(\hat{a_i},C_i^{A}) \\& = \mathcal{N}(\hat{b_i}-T^*\hat{a_i},C_i^{B}+(T^*)C_i^{A}(T^*)^T)\\ &= \mathcal{N}(0,C_i^{B}+(T^*)C_i^{A}(T^*)^T)\end{aligned}diT∗∼N(bi^,CiB)−T∗N(ai^,CiA)=N(bi^−T∗ai^,CiB+(T∗)CiA(T∗)T)=N(0,CiB+(T∗)CiA(T∗)T)
接下来就是这篇文章的重点， TTT可以被看作 diTd_i^TdiT的概率分布中待估计的分布参数，借助最大似然估计(MLE)的思想，我们寻找一个是的当前样本 did_idi出现概率最大的TTT：
T=argmaxT∏ip(diT)=argmaxT∑ilog(p(di(T)))\begin{aligned}T&=\mathop{\arg\max}\limits_{}\bold{T}\prod_ip(d_i^{T})\\&= \mathop{\arg\max}\limits_\bold{T} \sum\limits_{i}\log (p(d_i^{(\bold{T})}))\end{aligned} T=argmaxTi∏p(diT)=Targmaxi∑log(p(di(T)))
这一部分是执行了取log的操作，然后进一步化简
=argmaxlimitsT∑ilog(1(2π)k∣CiB+TCiATT∣)−12(di(T)−(bi^−Tai^))T(CiB+TCiATT)−1(di(T)−(bi^−Tai^))= \mathop{\arg\max}limits_\bold{T} \sum\limits_i\log (\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k|C_i^B+\bold{T}C_i^A\bold{T}^T|}}) \\ -\frac{1}{2}(d_i^{(\bold{T})}-(\hat{b_i} - \bold{T}\hat{a_i}))^T(C_i^B+\bold{T}C_i^A\bold{T}^T)^{-1}(d_i^{(\bold{T})}-(\hat{b_i} - \bold{T}\hat{a_i}))=argmaxlimitsTi∑log((2π)k∣CiB+TCiATT∣1)−21(di(T)−(bi^−Tai^))T(CiB+TCiATT)−1(di(T)−(bi^−Tai^))
上面的式子是参考了Multivariate normal distribution的取对数以及代入的方法。
对于多元常态分布X∼N(μ,Σ)\textbf{X} \sim \mathcal{N}(\mu, \Sigma)X∼N(μ,Σ)，其概率密度函数可以表示为
fx(x1,...,xk)=1(2π)k∣Σ∣e−12(x−μ)TΣ−1(x−μ),∣Σ∣≜detΣf_x(x_1, ..., x_k) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k|\Sigma|}}e^{-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)}, |\Sigma| \triangleq \textbf{det} \Sigmafx(x1,...,xk)=(2π)k∣Σ∣1e−21(x−μ)TΣ−1(x−μ),∣Σ∣≜detΣ
对上面的式子取log可以得到：
KaTeX parse error: \cr valid only within a tabular/array environment
代入di(T)∼N(bi^−Tai^,CiB+TCiATT)d_i^{(\bold{T})} \sim \mathcal{N}(\hat{b_i} - \bold{T}\hat{a_i}, C_i^B+\bold{T}C_i^A\bold{T}^T)di(T)∼N(bi^−Tai^,CiB+TCiATT)，得到：
log(p(di(T)))=log(1(2π)k∣CiB+TCiATT∣)−12(di(T)−(bi^−Tai^))T(C_iB+TCiATT)−1(di(T)−(bi^−Ta_i^))=log(1(2π)k∣CiB+TCiATT∣)−12di(T)T(CiB+TCiATT)−1di(T)\begin{aligned}\log (p(d_i^{(\bold{T})})) &= \log (\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k|C_i^B+\bold{T}C_i^A\bold{T}^T|}}) \\&-\frac{1}{2}(d_i^{(\bold{T})}-(\hat{b_i} - \bold{T}\hat{a_i}))^T(C\_i^B+\bold{T}C_i^A\bold{T}^T)^{-1}(d_i^{(\bold{T})}-(\hat{b_i} - \bold{T}\hat{a\_i})) \\&= \log (\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k|C_i^B+\bold{T}C_i^A\bold{T}^T|}}) \\&-\frac{1}{2}{d_i^{(\bold{T})}}^T(C_i^B+\bold{T}C_i^A\bold{T}^T)^{-1}d_i^{(\bold{T})}\end{aligned} log(p(di(T)))=log((2π)k∣CiB+TCiATT∣1)−21(di(T)−(bi^−Tai^))T(C_iB+TCiATT)−1(di(T)−(bi^−Ta_i^))=log((2π)k∣CiB+TCiATT∣1)−21di(T)T(CiB+TCiATT)−1di(T)
这样也就得到了我们上面的输出结果。这里的结果如果发现正态分布的协方差矩阵的行列式为常数时，则只需要优化最后一项就可以了。最后一项的二次型又被称作马哈拉诺比斯距离（马氏距离），极大似然估计等价于最小化样本点与均值之间的马氏距离。更详细的内容可以参考 高翔《视觉SLAM14讲》6.1 状态估计问题 。
这一部分则是对上一步的进一步化简，在 T=T∗\bold{T}=\bold{T}^*T=T∗的情況下bi^−(T∗)ai^=0\hat{b_i} - (\bold{T}^*)\hat{a_i} =0bi^−(T∗)ai^=0
=argmaxT∑ilog(1(2π)k∣CiB+TCiATT∣)−12di(T)T(CiB+TCiATT)−1di(T)= \mathop{\arg\max}\limits_\bold{T} \sum\limits_i\log (\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k|C_i^B+\bold{T}C_i^A\bold{T}^T|}}) \\ -\frac{1}{2}{d_i^{(\bold{T})}}^T(C_i^B+\bold{T}C_i^A\bold{T}^T)^{-1}d_i^{(\bold{T})}=Targmaxi∑log((2π)k∣CiB+TCiATT∣1)−21di(T)T(CiB+TCiATT)−1di(T)
然后又因为三维刚体变换矩阵中的旋转矩阵行列式值为1，平移矩阵行列式值也为1。又因为TTT是旋转平移矩阵，可以拆成旋转矩阵和平移矩阵的乘积。且det(AB)=det(A)det(B)\textbf{det}(AB) = \textbf{det}(A)\textbf{det}(B)det(AB)=det(A)det(B)，所以有矩阵的行列式值det(T)=1\textbf{det}(\bold{T}) = 1det(T)=1，因此det(TCiATT)=det(CiA)\textbf{det}(\bold{T}C_i^A\bold{T}^T)=\textbf{det}(C_i^A)det(TCiATT)=det(CiA)
=argmaxT∑i−12di(T)T(CiB+TCiATT)−1di(T)=\mathop{\arg\max}\limits_\bold{T}\sum\limits_i-\frac{1}{2}{d_i^{(\bold{T})}}^T(C_i^B+\bold{T}C_i^A\bold{T}^T)^{-1}d_i^{(\bold{T})}=Targmaxi∑−21di(T)T(CiB+TCiATT)−1di(T)
照视觉十四讲所说，这里对TTT做优化。其中第一项为常数，则可以忽略，其中det(A+B)\textbf{det}(A+B)det(A+B)可以参考这个推导。
然后舍去负号，则可以将上式化简为论文中的公式2：
T=argminT∑idi(T)T(CiB+TCiATT)−1di(T)T=\mathop{\arg\min}\limits_\bold{T}\sum_id_i^{(\bold{T})^{T}} (C_i^B+\bold{T}C_i^A\bold{T}^T)^{-1}d_i^{(\bold{T})}T=Targmini∑di(T)T(CiB+TCiATT)−1di(T)
到此为止我们学习了GICP中最主要的公式推导公式了。
2. ICP应用
这里我们直接参照keineahnung2345的文章。文中介绍了三种ICP的推导，这一节要借助上文的结论。
2.1 point-to-point
传统的点到点ICP可以用GICP的框架表示如下
CiB=I,CiA=0C_i^B=I, C_i^A=0CiB=I,CiA=0
验证：
T=argminT∑di(T)T(CiB+TCiATT)−1di(T)=argminT∑di(T)Tdi(T)=argminT∑∥di(T)∥2\begin{aligned}\bold{T} &= \mathop{\arg\min}\limits_\bold{T} \sum\limits {d_i^{(\bold{T})}}^T (C_i^B + \bold{T}C_i^A\bold{T}^T)^{-1}d_i^{(\bold{T})} \\ &= \mathop{\arg\min}\limits_\bold{T} \sum\limits {d_i^{(\bold{T})}}^T d_i^{(\bold{T})} \\ &= \mathop{\arg\min}\limits_\bold{T} \sum\limits {\|d_i^{(\bold{T})}\|^2}\end{aligned}T=Targmin∑di(T)T(CiB+TCiATT)−1di(T)=Targmin∑di(T)Tdi(T)=Targmin∑∥di(T)∥2
可以看出其目标为最小化点对间距离的平方和，也就是点到点ICP更新公式
2.2 point-to-plane
首先定义一个为正交的投影矩阵Pi\bold{P_i}Pi，有以下性质Pi=Pi2=Pi\bold{P_i} = \bold{P_i}^2 = \bold{P_i}Pi=Pi2=Pi。
其中Pi\bold{P_i}Pi会将向量投影到目标点云aaa中的第iii点bib_ibi法向量的局部平面上，因此Pi⋅di(T)\bold{P_i}\cdot d_i^{(\bold{T})}Pi⋅di(T)也就是转换后的aia_iai到bib_ibi所在平面的距离。
验证：
T=argminT{∑i∥Pi⋅di(T)∥2}=argminT{∑i(Pi⋅di(T))T(Pi⋅di(T))}=argminT{∑idi(T)T⋅Pi2⋅di(T)}=argminT{∑idi(T)T⋅Pi⋅di(T)}\begin{aligned}\bold{T} &=\mathop{\arg\min}\limits_\bold{T} \{\sum\limits_i \|\bold{P_i} \cdot d_i^{(\bold{T})}\|^2\} \\&= \mathop{\arg\min}\limits_\bold{T} \{\sum\limits_i (\bold{P_i} \cdot d_i^{(\bold{T})})^T(\bold{P_i} \cdot d_i^{(\bold{T})})\} \\&= \mathop{\arg\min}\limits_\bold{T} \{\sum\limits_i{d_i^{(\bold{T})}}^T \cdot \bold{P_i}^2 \cdot d_i^{(\bold{T})}\} \\&= \mathop{\arg\min}\limits_\bold{T} \{\sum\limits_i{d_i^{(\bold{T})}}^T \cdot \bold{P_i} \cdot d_i^{(\bold{T})}\}\end{aligned}T=Targmin{i∑∥Pi⋅di(T)∥2}=Targmin{i∑(Pi⋅di(T))T(Pi⋅di(T))}=Targmin{i∑di(T)T⋅Pi2⋅di(T)}=Targmin{i∑di(T)T⋅Pi⋅di(T)}
和GICP比较我们就可以发现关系为
CiB=Pi−1,CiA=0C_i^B=\bold{P_i}^{-1}, C_i^A=0CiB=Pi−1,CiA=0
2.3 plane-to-plane
这里是GICP专门提出的一种方法，即相对于点到点和点到面加入概率模型（协方差阵）
平面到平面算法的做法是，假设点云具有平面特征，这意味着在3D空间处理采样2D流形。 由于现实世界的曲面至少是分段可微的，我们可以假设我们的数据集是局部平面的。此外，由于我们从两个不同的角度对流形进行采样，因此通常不会对完全相同的点进行采样（即，对应关系永远不会是精确的）。 从而导致采样点在局部拟合的平面方向上的不确定性较大，但是在法向量方向上不确定性较小。
为此，每个测量点仅提供沿其曲面法线的约束。为了对这种结构进行建模，我们考虑每个采样点沿其局部平面以高协方差分布，而在曲面法线方向（垂直于平面方向）以极低协方差分布（即点云法线方向不在局部平面上）。假设局部拟合平面上某一点的法向量e1e_1e1是沿X轴的，则该点协方差矩阵变为：
(ϵ00010001)\left(\begin{array}{lll} \epsilon & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)⎝⎛ϵ00010001⎠⎞
ϵ\epsilonϵ为沿着法线方向极小的常数。
因为实际上法向量并不一定是沿xxx轴方向，所以需要进行坐标转换。假设 bi,aib_i,a_ibi,ai对应的法向量分别为ui,viu_i,v_iui,vi,则它们对应的协方差阵为：
CiB=Rμi⋅(ϵ00010001)⋅RμiTCiA=Rνi⋅(ϵ00010001)⋅RνiT\begin{array}{l} C_{i}^{B}=\mathbf{R}_{\mu_{i}} \cdot\left(\begin{array}{ccc} \epsilon & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot \mathbf{R}_{\mu_{i}}^{T} \\C_{i}^{A}=\mathbf{R}_{\nu_{i}} \cdot\left(\begin{array}{ccc} \epsilon & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot \mathbf{R}_{\nu_{i}}^{T} \end{array}CiB=Rμi⋅⎝⎛ϵ00010001⎠⎞⋅RμiTCiA=Rνi⋅⎝⎛ϵ00010001⎠⎞⋅RνiT