题目

小A有n枚硬币，现在要买一样不超过m元的商品，他不想被找零，同时又不想带太多的硬币，且硬币可以重复，现在已知这n枚硬币的面值，请问最少需要多少枚硬币就能组合成所有可能（即能组合成1-m任意之间的数字）的价格？

输入描述：

第一行两个数：n、m。

下一行，共n个数字，表示硬币的面值。

输出描述：

一行一个数，表示最少需要多少硬币。如果无解请输出“No answer!!!”

示例

输入

5 31

1 2 8 4 16

输出

5

分析

昨天第13期CSDN竞赛中的一道题，原题还是洛谷。本题解法虽然归为贪心算法，但问哥觉得更像是脑筋急转弯，有一些坑，跨过去了回头再看，就会觉得这算啥啊？

先说一个貌似正确、实则有误的思路（也是问哥首先想到的思路，也在上面花了不少时间）：

我们试着用递归的思路，把问题n分解成n-1和1。对应到本题，如果我们有n枚硬币，要能组合出1到m的所有面值，那么我们先拿出面值最大的硬币（比如面值为value[n-1]），那么我们只要解决要组合出1到value[n-1]-1最少需要多少枚硬币就可以了。以题目给的示例为例，硬币面值为1、2、4、8、16，要能够组成1到31的金额，那么我们假定最大面值16的硬币需要选中，那么我们就只要找到能够组合出金额1到15最少需要多少枚硬币就好，因为大于15的金额都可以加上面值16的硬币来得到。然后我们要解决1到15最少需要多少枚硬币，可以根据同样的道理，在剩下的硬币中再拿出最大的8，然后只要找到能够组合出金额1到7最少需要多少枚硬币就好，如此一来，不断递归下去，就能找到答案（可以得到示例中的正确答案5）。

举个例子，如果我们现在有5种面值的硬币，分别是1、3、5、7、9，而要组成1到19的面值。按照上面的思路，我们先选择面值9的硬币，由于19是9的两倍还多，所以我们需要两枚面值9的硬币，然后再去解决要组成1到8的面值最少需要多少硬币，从大到小选择，下一个是7，所以我们现在有两枚面值9、一枚面值7的硬币，再去找组成1到6需要的硬币数，然后是5，依次类推，最后我们需要两枚面值1、一枚面值3、一枚面值5、一枚面值7、两枚面值9，总共七枚硬币。它们的确可以组成从1到19的所有面值：

但，却不是最少的硬币。我们逐个检查一下就会发现，面值7和其中一枚面值9的硬币其实是不需要的：

所以正确答案是五枚硬币（两枚面值1、一枚面值3、一枚面值5、一枚面值9）

为什么会这样呢？

因为我们“递归”的前提是错误的，问题n转化为n-1和1时，这个1并不是固定的。代入例子里来说，我们不应该假定每次递归时最大的面值一定是必选的。比如，当找出能够组合出金额1到8的硬币时，我们不能假定硬币7一定是必选的，因为7完全可以由1+1+5得到，而选择硬币7，也并不会使整体需要的硬币数减少——选择硬币7的原因是组合成金额8的时候只需要两枚硬币，但是却忽略了金额8同样可以由3+5这两枚硬币组成。所以我们在找出所需硬币数量的同时，需要找到用手上现有的硬币可以组合出最大多少的金额，而我们要选择的硬币面值减一应该小于等于这个最大金额。比如，当我们已经选择了两枚面值1、一枚面值3、1枚面值5的硬币，它们可以组合的最大金额是1+1+3+5=10，那我们下一个要选择的硬币面值应该是比这个最大金额加一的值（11）小的最大面值，7和9比较，选择9。

有点拗口，我们从头再来分析一下。

一开始，我们至少要选择两枚面值1的硬币，不然金额2无法组合出。也就是说，面值1的硬币的个数，等于下一个面值减一。如果下一个硬币的面值是10，那么我们至少需要9枚面值1的硬币才能组合出1到9。

接着，选择面值3的硬币，这样组合出金额4就只需要2枚硬币（1+3），而不是4枚硬币（1+1+1+1）。现在我们手上有了两枚面值1、一枚面值3，可组合的最大金额是1+1+3=5。

我们来看要不要选择面值5的硬币，如果不选，那么组合出金额6的时候，我们就需要两枚面值3的硬币。都是增加一枚，看似没有什么优点，但是如果要组合出金额9的时候，我们就又要增加一枚面值3的硬币。而如果选择了面值5，则金额9和10都不需要再额外增加硬币数量了。而由于我们最终的答案19要大于8或9，所以这里我们必须选择面值5的硬币才能使硬币整体数量更少。换句话说，选择面值5的硬币，使得我们能够组合出的最大金额变大了。

于是，我们现在有了两枚面值1、一枚面值3、一枚面值5，可组合的最大金额是1+1+3+5=10。那么，我们要不要选择下一个面值7呢？金额1到10都已经可以由现在手上的四枚硬币组合出来，如果选择面值7，就意味着1到17都可以组合出来，但是如果选择9，我们就可以组合出1到19。而最终答案是19，要大于17，所以如果我们选择了面值7的硬币，则意味着如果要组合出金额18和19，我们还需要再额外选择两枚面值1的硬币，而选择面值9，就没有这个问题了。

由此可见，我们每次要选择的硬币面值，要能够使它和我们手上的金额组成的最大金额最大（贪心算法）。

如果上面的最后一步里，我们还有面值11的硬币可供选择，我们该不该选择呢？答案是，应该选择。因为我们之前可以组合出的金额是1到10，那么金额11就只需要一枚面值11就可以，而最大到1+1+3+5+11=21，都可以使用它们组合出来。而如果还有面值12或面值13的硬币呢？答案就是不能了，因为金额11无法组合出来。所以，我们要选择的硬币面值本身，不能超过现在手上硬币所组成的最大金额加一（10+1=11）。

到这里，我们的算法基本思路就出来了，先将硬币的面值按从小到大排序，然后检查第一个是不是1，如果不是1，那就“No answer”，因为面值1就无法组合出来了。然后检查有多少种面值，如果只有一种，那面值必然是1，不管是多少金额，都只能由1组成，所以答案就是m。而如果大于一种，则我们选择好了面值1的硬币后，就遵循上面说的两条原则去选择面值最大的硬币就好了。

这里还有个小问题，如果m比可用硬币的最大面值还要大上许多许多，按照上面的算法，我们要一枚枚的去选（累加），反而显得低效了。比如，如果我们的硬币还是1、3、5、7、9，要组成的金额是100，而我们原有的答案最大只能组合到19（1+1+3+5+9），于是，每次都取最大的面值，

1+1+3+5+9+9 = 28

1+1+3+5+9+9+9 = 37

1+1+3+5+9+9+9+9 = 46

1+1+3+5+9+9+9+9+9 = 55

1+1+3+5+9+9+9+9+9+9 = 64

1+1+3+5+9+9+9+9+9+9+9 = 73

1+1+3+5+9+9+9+9+9+9+9+9 = 82

1+1+3+5+9+9+9+9+9+9+9+9+9 = 91

1+1+3+5+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9 = 100

总共我们最少需要14枚硬币（两枚面值1、一枚面值3、一枚面值5、10枚面值9），而上面的公式其实可以转化成

1+1+3+5+9*10 = 100

也就是说，当只剩下最后（最大）面值的硬币可选的时候，我们只要计算现在能组成的最大价值（1+1+3+5=10）距离要得到的价值（100）还差多少（90），然后用90除以最大面值9，得到的结果向上取整就可以了。向上取整的原因是，如果我们要得到101到108的金额，也就是98除9余8，我们就必须还要多选择一枚硬币。完整代码如下：

参考代码

n, m = map(int, input().split())
value = list(map(int, input().split()))
value.sort()
if value[0] != 1: #如果没有面值为1的硬币，则必定不符合条件print("No answer!!!")
elif n == 1: #如果只有一种面值（也就是1），则只能取m枚硬币print(m)
else:res = maxvalue = value[1] - 1 #由于有两种或更多面值，所以初始至少需要第二种面值减一个面值为1的硬币i = 2while True:while i < n and maxvalue+1 >= value[i]: #找到现有硬币可以组成最大金额的边界值i += 1if i == n: #如果已经是最后一种面值，就没必要再累加了，直接用还差多少钱除以最大面值，向上取整d = m - maxvalueres += d//value[i-1] + bool(d%value[i-1])print(res)breakelse: #计算现有硬币可以组成的最大金额，如果已经大于等于m，则结束计算maxvalue += value[i-1]res += 1if maxvalue >= m:print(res)break