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题目

题目描述

B 君有两个好朋友，他们叫宁宁和冉冉。有一天，冉冉遇到了一个有趣的题目：输入 b;d;n，求

⌊(b+d2)n⌋modp\lfloor ( \frac{b+\sqrt{d}}{2} ) ^n \rfloor \mathrm{mod} \ p⌊(2b+d​​)n⌋mod p

其中p=7528443412579576937p=7528443412579576937p=7528443412579576937

输入格式

一行三个整数 b;d;n

输出格式

一行一个数表示模 7528443412579576937 之后的结果。

样例 #1

样例输入 #1

1 5 9

样例输出 #1

76

提示

其中 0

题解

看到 (b+d2)n( \frac{b+\sqrt{d}}{2} ) ^n(2b+d​​)n 的时候，数学比较好的人应该就会反应出一个平方差公式，所以就会想到 (b−d2)n( \frac{b-\sqrt{d}}{2} ) ^n(2b−d​​)n，那么我们会发现，这两个是方程x2−bx+b2−d4=0x^2-bx+\frac{b^2-d}{4}=0x2−bx+4b2−d​=0的两根。
移项可得：x2=bx+b2−d4x^2=bx+\frac{b^2-d}{4}x2=bx+4b2−d​
再同时乘以xn−2x^{n-2}xn−2可得：xn=bxn−1+b2−d4xn−2x^n=bx^{n-1}+\frac{b^2-d}{4}x^{n-2}xn=bxn−1+4b2−d​xn−2
令fi=(b+d2)i+(b−d2)if_i=( \frac{b+\sqrt{d}}{2} ) ^i+( \frac{b-\sqrt{d}}{2} ) ^ifi​=(2b+d​​)i+(2b−d​​)i，则fif_ifi​为整数，且fi=bfi−1+b2−d4fi−2f_i=bf_{i-1}+\frac{b^2-d}{4}f_{i-2}fi​=bfi−1​+4b2−d​fi−2​，f0=2f_0=2f0​=2，f1=bf_1=bf1​=b，所以可以用矩阵乘法求出fnf_nfn​（因为会爆long long，所以推荐用__int128）

最后当b2≠db^2≠db2=d且nnn为偶数的时候，答案为fn−1f_n-1fn​−1，否则为fnf_nfn​。

注意不要把矩阵初始化的时候打错了，我调了一个多小时，最后发现是初始化的时候有两个写反了。

代码实现

100pts

//洛谷 P3263 [JLOI2015]有意义的字符串
#pragma GCC optimize(3)
#include
#include
using namespace std;
const __int128 p=7528443412579576937;
__int128 b,d,n;
__int128 z[2][2];
__int128 a[2][2];
__int128 s[2][2];void mi(__int128 n){while(n){if(n&1){for(int i=0;i<=1;++i){for(int j=0;j<=1;++j){s[i][j]=(z[i][0]*a[0][j]+z[i][1]*a[1][j])%p;}}for(int i=0;i<=1;++i){for(int j=0;j<=1;++j){a[i][j]=s[i][j];}}}for(int i=0;i<=1;++i){for(int j=0;j<=1;++j){s[i][j]=(z[i][0]*z[0][j]+z[i][1]*z[1][j])%p;}}for(int i=0;i<=1;++i){for(int j=0;j<=1;++j){z[i][j]=s[i][j];}}n>>=1;}
}void in(__int128 &x){int nt;x=0;while(!isdigit(nt=getchar()));x=nt^'0';while(isdigit(nt=getchar())){x=(x<<3)+(x<<1)+(nt^'0');}
}inline void wr(__int128 x)
{if(x<0) putchar('-'),x=-x;if(x>9) wr(x/10);putchar(x%10+'0');
}int main(){in(b),in(d),in(n);z[0][1]=1;z[1][0]=((d-b*b)/4)%p;z[1][1]=b;a[0][0]=1;a[1][1]=1;mi(n);if(b*b!=d&&n%2==0){wr((a[0][0]*2%p+b*a[0][1]-1)%p);}else{wr((a[0][0]*2%p+b*a[0][1])%p);}return 0;
}