相关分析与回归分析
创始人
2024-04-23 19:16:18
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相关与回归分析就是了解变量之间相关关系的统计方法

一.相关分析

具有相关关系的变量之间,如果不区分原因和结果,我们称之为相关分析

相关分析是看两个因素之间的相关性,不需要确定哪个是自变量,哪个是因变量,两个因素是平行关系

1.变量之间的关系

2.函数关系

定义:当一个变量取一个值的时候,另一个变量有确定值与之对应

特点:变量之间是一一对应的确定关系;Y随X一起变化,并完全依赖于X;各观测点落在一条线上

3.相关关系

定义:变量之间保持着不确定性的数量依存关系,即变量间的关系不能用函数关系精确的表达

特点:一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定;当变量X取某个值时,变量Y的取值可能有好几个;各观测点分布在直线周围

两个变量之间存在相关关系,并不一定意味着一个变量会影响到另一个变量,也不意味着两者存在实际关系,即数学关系 ≠ 实际关系

4.类型

正线性相关:一个变量增长,另一个变量也相应的增长

负线性相关:一个变量增长,另一个变量也相应的减少

不相关:两个变量之间是随机模式,不存在相关性

正相关不一定是正线性相关,还要看变量之间具体的函数F(x)是一次函数,还是二次函数或者其它曲线

如果是一次函数叫正线性相关,如果不是一次函数,就只能说两者是正相关,不能说正线性相关

区别是线性还是非线性,主要看函数y = F(x)对自变量x的依赖关系

线性相关的函数是一次函数,是正比例关系或者反比例关系,函数一般为y = Ax + B,其图像表现为一条直线

非线性相关的函数关系不是一次函数,图像不是直线,一般情况是曲线或抛物线关系

二.回归分析

具有相关关系的变量之间,如果存在因果关系,我们用回归分析来确定它们之间的关系

因果关系的表现形式

一种原因引起一种结果

多种原因引起一种结果

变量之间互为因果

1.相关分析与回归分析的关系

相关分析强调的是现象之间是否相关,相关的方向和密切程度,而回归分析则要分析现象之间的具体形式,确定其因果关系,并用数学模型来表现其具体关系

在研究相关分析时,不需要区分自变量和因变量,但回归分析的首要问题就是确定哪个是自变量,哪个是因变量

现象之间相关分析的研究,只能计算一个相关系数;而回归分析时回归系数可能有两个,也就是两现象互为因果关系时,可以确定两个独立回归方程,从而就有两个不同的回归系数

总结:相关分析是回归分析的基础和前提,只有变量之间存在高度相关时,进行回归分析确定相关的具体形式才有意义;回归分析是相关分析的继续和深入,变量之间的相关程度需要回归分析来确认

2.求最佳拟合线步骤

求出直线公式

将误差最小化

求误差平方和

所以,求最佳拟合线就是求使得误差平方和最小的那条直线

3.相关系数

对于直线y = A +Bx,尽管名为“最佳拟合线”,但我们并不知道这条线的准确性如何,还有一件事需要考虑,回归线的相关性强度

尽管最佳拟合线是与数据拟合程度最高的直线,但它并不能与每个点都精确拟合

让我们查看一些相关关系,看看直线和数据的拟合情况 

精确线性相关

直线和每个点几乎精确拟合

可以这样说,依据这条线做出的任何预测可能都是准确的

非线性相关

这一组数据未体现出线性相关性

你可以用最小二乘回归法算出一条回归线,但据此做出的任何预测都不太可能准确

两组数据都有回归线,但数据的实际拟合程度却不大相同,第一组数据的相关性十分明显,但第二组数据十分分散,以致回归线丧失了应有的作用

有一种方法可用于衡量直线拟合的程度:计算相关系数

相关系数是介于-1和1之间的一个数,描述了各个数据点与直线的偏离程度,通过它可以量度回归线与数据的拟合度,通常用字母R来表示

通常情况下,R介于[-1,1]之间,R越接近1或-1,相关性越强,数据点距离直线越近,拟合准确度越高;R越接近0,相关性越弱,数据点距离直线越远,甚至不存在相关关系

回归分析又称为曲线拟合,其本质就是一个函数估计的问题,即找出因变量和自变量之间的函数关系(因果关系)

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