文章目录

• 前言
• 正文
• • 等价无穷小
  • 常用积分公式
  • 两个重要极限
  • 求极限的几个方法
  • • 1.直接求
    • 2.夹逼定理
    • 3.转化为定积分求解
    • 4.洛必达法则
  • 积分的几个方法
  • • 1.换元
    • 2.倒代
    • 3.分部积分
    • 4.有理化
    • 5.定积分的技巧
  • 定积分的应用
  • • 1.弧长公式
    • 2.旋转体的体积
    • 3.旋转体的侧面积
    • 4.极坐标下图形的面积
    • 5.转动惯量
  • 一些定义
  • • 1.间断点
    • 2.函数连续
    • 3.导数
    • 4.研究函数性质
  • 一些证明
  • • 1.证明函数极限
  • 一些定理（公式）
  • • 1.罗尔定理
    • 2.微分中值定理（拉格朗日中值定理）
    • 3.柯西中值定理
    • 4.泰勒展开
    • 5.两函数相乘的n阶导数
    • 6.链式法则
    • 7.三角函数有关
    • • 万能公式
      • 倍角公式
  • 空间解析几何
  • • 定义
    • • 平面
      • 直线
    • 运算
    • 定理（公式）
    • • 1.判断两个向量是否共线
      • 2.判断三个向量是否共面
      • 3.两个不共线向量确定一个平面
      • 4.直线的方向向量
  • 多元函数

前言

好久没碰博客了
也从高中生变成了大学牲（
随便写写
权当复习

正文

等价无穷小

x→0x\to 0x→0时
arcsin⁡x∼sin⁡x∼arctan⁡x∼tan⁡x∼x1−cos⁡x∼12x2(1+x)α−1∼αxln⁡(1+x)∼xex−1∼x\arcsin{x} \sim \sin{x} \sim \arctan{x} \sim \tan{x} \sim x\\ 1-\cos{x} \sim \frac{1}{2} x^2\\ (1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x\\ \ln(1+x) \sim x\\ e^{x}-1 \sim x arcsinx∼sinx∼arctanx∼tanx∼x1−cosx∼21​x2(1+x)α−1∼αxln(1+x)∼xex−1∼x
注意：等价无穷小的应用条件
1.里面的x（或是式子）必须趋于0
2.只能替换乘除的因子

另外，牢记无穷小*有界量=无穷小

常用积分公式

∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln{\lvert{x}\rvert}+C\\ ∫x1​dx=ln∣x∣+C
∫sec⁡xtan⁡xdx=sec⁡x+C∫csc⁡xtan⁡xdx=−csc⁡x+C∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C∫cot⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣+C∫dx1−x2=arcsin⁡x+C∫dx1+x2=arctan⁡x+C=−arctan⁡1x+C\int \sec{x} \tan{x} \mathrm{d}x=\sec{x}+C\\ \int \csc{x} \tan{x} \mathrm{d}x=-\csc{x}+C\\ \int \tan{x}\mathrm{d}x=-\ln{\lvert\cos{x}\rvert}+C\\ \int \cot{x}\mathrm{d}x=\ln{\lvert\sin{x}\rvert}+C\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin{x}+C \\ \int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan{x}+C=-\arctan{\frac{1}{x}}+C\\ ∫secxtanxdx=secx+C∫cscxtanxdx=−cscx+C∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C∫cotxdx=ln∣sinx∣+C∫1−x2​dx​=arcsinx+C∫1+x2dx​=arctanx+C=−arctanx1​+C
∫dxx2+a2=1aarctan⁡xa+C∫dxx2−a2=12aln⁡∣x−ax+a∣+C∫dxa2−x2=arcsin⁡xa+C∫dxx2±a2=ln⁡∣x+x2±a2∣+C∫x2±a2dx=x2x2±a2±a22ln⁡∣x+x2±a2∣+C∫a2−x2dx=x2a2−x2+a22arcsin⁡xa+C\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln{\lvert\frac{x-a}{x+a}\rvert}+C\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin{\frac{x}{a}}+C\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln{\lvert x+\sqrt{x^2\pm a^2}\rvert}+C\\ \int \sqrt{x^2\pm a^2} \mathrm{d}x=\frac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}\pm\frac{a^2}{2}\ln{\lvert x+\sqrt{x^2\pm a^2}\rvert}+C\\ \int \sqrt{a^2- x^2} \mathrm{d}x=\frac{x}{2}\sqrt{a^2- x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}+C\\ ∫x2+a2dx​=a1​arctanax​+C∫x2−a2dx​=2a1​ln∣x+ax−a​∣+C∫a2−x2​dx​=arcsinax​+C∫x2±a2​dx​=ln∣x+x2±a2​∣+C∫x2±a2​dx=2x​x2±a2​±2a2​ln∣x+x2±a2​∣+C∫a2−x2​dx=2x​a2−x2​+2a2​arcsinax​+C

两个重要极限

lim⁡x→0sin⁡xx=1lim⁡n→∞(1+1n)n=e\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\\ \lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e\\ x→0lim​xsinx​=1n→∞lim​(1+n1​)n=e

求极限的几个方法

1.直接求

先代值，把非0因子直接算出
再变形（有理化、因式分解、拆项、利用等价无穷小或泰勒展开等）
再代值，把非0因子直接算出
注意要善用四则运算法则

2.夹逼定理

找到恒大于和恒小于该函数的函数，算出另外两个函数的极限（相等），得到极限

3.转化为定积分求解

lim⁡n→∞1n∑k=1nf(kn)=∫01f(x)dx\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})=\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x n→∞lim​n1​k=1∑n​f(nk​)=∫01​f(x)dx
将极限视为适当函数的黎曼和（上式），然后用定积分算出值
例如
求lim⁡n→∞n∑k=1n1(n+k)2\lim_{n\to \infty}n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^2}limn→∞​n∑k=1n​(n+k)21​
可以将上式转化为lim⁡n→∞1n∑k=1n1(1+kn)2\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(1+\frac{k}{n})^2}limn→∞​n1​∑k=1n​(1+nk​)21​
就可以等价于∫011(1+x)2dx=12\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x)^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}∫01​(1+x)21​dx=21​

4.洛必达法则

当极限为分式且上下极限都是000或∞\infty∞时
上下同时求导，得到新的分式极限不变

积分的几个方法

1.换元

一般就是直接换分母 （暴力出奇迹）
稍微有技巧一点就是换成三角函数，一般都是利用好
sin⁡2x+cos⁡2x=tan⁡2x\sin^2x+\cos^2x=\tan^2xsin2x+cos2x=tan2x
tan⁡2x+1=sec⁡2x\tan^2x+1=\sec^2xtan2x+1=sec2x
这两条式子即可

2.倒代

碰到上下都是因式但是次数不同的时候
令t=1xt=\frac{1}{x}t=x1​，然后再做

3.分部积分

分两类：
1.∫xmexdx\int x^me^x\mathrm{d}x∫xmexdx和∫xmsin⁡xdx\int x^m\sin x\mathrm{d}x∫xmsinxdx
这类要把exe^xex和sin⁡x\sin xsinx合并到dx\mathrm{d}xdx里
1.∫xmln⁡xdx\int x^m\ln x\mathrm{d}x∫xmlnxdx、∫xmarcsin⁡xdx\int x^m\arcsin x\mathrm{d}x∫xmarcsinxdx和∫xmarctan⁡xdx\int x^m\arctan x\mathrm{d}x∫xmarctanxdx
这类要把xmx^mxm合并到dx\mathrm{d}xdx里

4.有理化

将有理式拆分成若干个有理式（一般用待定系数法），再逐个积分，最后求和

5.定积分的技巧

1.若被积函数是奇函数，且上下界互为相反数，则答案是0
2.若被积函数是偶函数，且上下界互为相反数，则可以变成两倍的一半（常用于证明题）
3.若被积函数是周期函数，则可以按一段周期求

定积分的应用

1.弧长公式

一般形式：
s=∫ab1+[f′(x)]2dxs=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\mathrm{d}xs=∫ab​1+[f′(x)]2​dx
参数方程形式：
s=∫αβ[x′(t)]2+[y′(t)]2dts=\int_\alpha^\beta\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\mathrm{d}ts=∫αβ​[x′(t)]2+[y′(t)]2​dt
极坐标形式：
s=∫αβr2(θ)+[r′(θ)]2dθs=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2(\theta)+[r'(\theta)]^2}\mathrm{d}\thetas=∫αβ​r2(θ)+[r′(θ)]2​dθ

2.旋转体的体积

V=π∫abf2(x)dxV=\pi\int_a^bf^2(x)\mathrm{d}xV=π∫ab​f2(x)dx

3.旋转体的侧面积

一般形式：
F=2π∫abf(x)1+[f′(x)]2dxF=2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\mathrm{d}xF=2π∫ab​f(x)1+[f′(x)]2​dx
参数方程形式：
F=2π∫αβy(t)[x′(t)]2+[y′(t)]2dtF=2\pi\int_\alpha^\beta y(t)\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\mathrm{d}tF=2π∫αβ​y(t)[x′(t)]2+[y′(t)]2​dt

4.极坐标下图形的面积

S=12∫αβr2(θ)dθS=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\mathrm{d}\thetaS=21​∫αβ​r2(θ)dθ
值得注意的是这里的上下界要考虑对称图形

5.转动惯量

其实是物理的知识了
一般用巴普斯（也叫古鲁丁）定理：
一个面绕一个点转一圈形成的物体的体积=其质心所走的路程*这个面的面积

一些定义

1.间断点

第一类间断点（左右极限都存在）：
可去间断点：左右极限存在且相等，但是不等于函数该处值
跳跃间断点：左右极限存在且不相等
第二类间断点（至少有一边极限不存在）：
无穷间断点：极限为∞\infty∞
振荡间断点：函数值不确定，如sin⁡1x\sin\frac{1}{x}sinx1​在0处

2.函数连续

在某一点连续（x0x_0x0​点）：lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)limx→x0​​f(x)=f(x0​)
在某个区间连续（在(a,b)(a,b)(a,b)上）：在(a,b)(a,b)(a,b)上每一点都连续

3.导数

lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x)Δx=f′(x0)\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x_0)limΔx→0​Δxf(x0​+Δx)−f(x)​=f′(x0​)
或者是
lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0)\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)limx→x0​​x−x0​f(x)−f(x0​)​=f′(x0​)
若极限存在，则说明函数在这一点上可导
可导和可微可以互推

4.研究函数性质

驻点（稳定点、临界点）：一导为0且左右一正一负
拐点：二导为0且左右一正一负（二导小于0为凸，二导大于0为凹）
函数渐近线（除去水平渐近线和垂直渐近线）：
设渐近线为y=kx+by=kx+by=kx+b
则k=lim⁡x→∞f(x)xk=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}k=limx→∞​xf(x)​，b=lim⁡x→∞(f(x)−kx)b=\lim_{x\to \infty}(f(x)-kx)b=limx→∞​(f(x)−kx)

一些证明

1.证明函数极限

∀ε>0\forall\varepsilon>0∀ε>0，∃δ>0\exist\delta>0∃δ>0 使得
∣f(x)−l∣<ε\lvert f(x)-l\rvert<\varepsilon∣f(x)−l∣<ε，只要0<∣x−x0∣<δ0<\lvert x-x_0\rvert<\delta0<∣x−x0​∣<δ
则可证明lim⁡x→x0f(x)=l\lim_{x\to x_0}f(x)=llimx→x0​​f(x)=l

因此我们的目标是找到 δ\deltaδ 关于 ε\varepsilonε 的函数，使得上式成立
怎么找呢？

反过来想，我们最终找到一条不等式
∣f(x)−l∣ 这时候我们就可以取δ=1Aε\delta=\frac{1}{A}\varepsilonδ=A1​ε（并且要满足∣x−x0∣<δ\lvert x-x_0\rvert<\delta∣x−x0​∣<δ）
然后把上面的证明正着写一遍就好了

接下来的目标是找到这条不等式，方法很多，诸如放缩，各种均值不等式等

一些定理（公式）

1.罗尔定理

设y=f(x)y=f(x)y=f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，并且f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)
又若y=f(x)y=f(x)y=f(x)在开区间(a,b)(a,b)(a,b)上可导，则必定存在一点c∈(a,b)c\in (a,b)c∈(a,b)，使得
f′(c)=0f'(c)=0f′(c)=0

2.微分中值定理（拉格朗日中值定理）

其实是罗尔定理的推论

设y=f(x)y=f(x)y=f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，并且y=f(x)y=f(x)y=f(x)在开区间(a,b)(a,b)(a,b)上可导，则必定存在一点c∈(a,b)c\in (a,b)c∈(a,b)使得
f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}f′(c)=b−af(b)−f(a)​

证明的话就是构造函数g(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x−a)g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)g(x)=f(x)−b−af(b)−f(a)​(x−a)，然后运用罗尔定理就可以

有一些奇怪的应用，如：
证明不等式：
x1+x0\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)01+xx​0
我们可以对ln⁡(1+x)\ln(1+x)ln(1+x)在[0,x][0,x][0,x]上应用微分中值定理，得到∃c∈(0,x)\exist c\in(0,x)∃c∈(0,x)，使得
ln⁡(1+x)−ln⁡(1+0)=xf′(c)=x1+c\ln(1+x)-\ln(1+0)=xf'(c)=\frac{x}{1+c}ln(1+x)−ln(1+0)=xf′(c)=1+cx​
再将000和xxx分别带入，得到上下界，可证明该结论

3.柯西中值定理

其实是微分中值定理的推论（

设y=f(x)y=f(x)y=f(x)和y=g(x)y=g(x)y=g(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，并且在开区间(a,b)(a,b)(a,b)上可导，且g′(x)≠0g'(x)\neq0g′(x)=0，则必定存在一点c∈(a,b)c\in (a,b)c∈(a,b)，使得
f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(c)g′(c)\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}g(b)−g(a)f(b)−f(a)​=g′(c)f′(c)​

证明和微分中值定理很像，构造函数g(x)=f(x)−f(b)−f(a)g(b)−g(a)[g(x)−g(a)]g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]g(x)=f(x)−g(b)−g(a)f(b)−f(a)​[g(x)−g(a)]，然后同样运用罗尔定理

4.泰勒展开

局部泰勒公式（在x0x_0x0​点，展开nnn阶），其中x→x0x\to x_0x→x0​：
f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n)f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)f(x)=f(x0​)+1!f′(x0​)​(x−x0​)+⋯+n!f(n)(x0​)​(x−x0​)n+o((x−x0​)n)
当x0=0x_0=0x0​=0时，该式称为麦克劳林公式
写几个常见的麦克劳林公式，其中x→0x\to 0x→0
ex=1+x1!+x22!+⋯+xnn!+o(xn)e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)ex=1+1!x​+2!x2​+⋯+n!xn​+o(xn)
sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯+(−1)kx2k+1(2k+1)!+o(x2k+1)\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2k+1})sinx=x−3!x3​+5!x5​−⋯+(−1)k(2k+1)!x2k+1​+o(x2k+1)
cos⁡x=1−x22!+x44!−⋯+(−1)kx2k(2k)!+o(x2k+1)\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2k+1})cosx=1−2!x2​+4!x4​−⋯+(−1)k(2k)!x2k​+o(x2k+1)
(1+x)α=1+α1!x+α(α−1)2!x2+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)n!xn+o(xn)(1+x)^\alpha=1+\frac{\alpha}{1!}x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)(1+x)α=1+1!α​x+2!α(α−1)​x2+⋯+n!α(α−1)⋯(α−n+1)​xn+o(xn)
ln⁡(1+x)=x−x22+x33−⋯+(−1)n−1xnn+o(xn)\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)ln(1+x)=x−2x2​+3x3​−⋯+(−1)n−1nxn​+o(xn)
常见的替换
x−sin⁡x∼16x3+o(x3)x-\sin x\sim \frac{1}{6}x^3+o(x^3)x−sinx∼61​x3+o(x3)
tan⁡x−x∼13x3+o(x3)\tan x-x\sim \frac{1}{3}x^3+o(x^3)tanx−x∼31​x3+o(x3)

5.两函数相乘的n阶导数

[f(x)⋅g(x)]n=∑k=0nCnkf(k)(x)g(n−k)(x)[f(x)\cdot g(x)]^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^kf^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)[f(x)⋅g(x)]n=k=0∑n​Cnk​f(k)(x)g(n−k)(x)
写几个n阶导数
sin⁡nx=sin⁡(x+nπ2)\sin^nx=\sin(x+\frac{n\pi}{2})sinnx=sin(x+2nπ​)
cos⁡nx=cos⁡(x+nπ2)\cos^nx=\cos(x+\frac{n\pi}{2})cosnx=cos(x+2nπ​)
ln⁡n(1+x)=(−1)n−1(1+x)−n(n−1)!\ln^n(1+x)=(-1)^{n-1}(1+x)^{-n}(n-1)!lnn(1+x)=(−1)n−1(1+x)−n(n−1)!

6.链式法则

看起来很没用实际上很有用的东西
dxdz=dxdy⋅dydz\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}dzdx​=dydx​⋅dzdy​
中间可以添若干项

7.三角函数有关

积分的时候经常用到

万能公式

sin⁡2x=2tan⁡x1+tan⁡2x\sin 2x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}sin2x=1+tan2x2tanx​
cos⁡2x=1−tan⁡2x1+tan⁡2x\cos 2x=\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}cos2x=1+tan2x1−tan2x​
tan⁡2x=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}tan2x=1−tan2x2tanx​

倍角公式

sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}sin2x=21−cos2x​
cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}cos2x=21+cos2x​
tan⁡2x=1−cos⁡2x1+cos⁡2x\tan^2x=\frac{1-\cos2x}{1+\cos2x}tan2x=1+cos2x1−cos2x​

空间解析几何

定义

平面

Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0（(A,B,C)(A,B,C)(A,B,C)为该平面法向量）

直线

形如l:{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0l:\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} l:{A1​x+B1​y+C1​z+D1​=0A2​x+B2​y+C2​z+D2​=0​
表示为两个平面的交线
也可以写成参数方程
形如x−x0a=y−y0b=z−z0c\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c} ax−x0​​=by−y0​​=cz−z0​​
其中(a,b,c)(a,b,c)(a,b,c)是该直线的方向向量，(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)(x0​,y0​,z0​)是该直线上的一点
也会写成坐标形式
l:{x=ta+x0y=tb+y0z=tc+z0l:\begin{cases} x=ta+x_0\\ y=tb+y_0\\ z=tc+z_0 \end{cases} l:⎩⎨⎧​x=ta+x0​y=tb+y0​z=tc+z0​​

运算

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡\vec{a}\cdot \vec{b}=\lvert \vec{a}\rvert\lvert \vec{b}\rvert\cos<\vec{a},\vec{b}>a⋅b=∣a∣∣b∣cos,b>
∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡\lvert\vec{a}\times \vec{b}\rvert=\lvert \vec{a}\rvert\lvert \vec{b}\rvert\sin<\vec{a},\vec{b}>∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin,b>（方向是用右手定则判断，同时垂直于两个向量）
行列式计算：
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33} ​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​​=a11​a22​a33​+a12​a23​a31​+a13​a21​a32​−a13​a22​a31​−a11​a23​a32​−a12​a21​a33​

定理（公式）

1.判断两个向量是否共线

a⃗,b⃗共线⇔a⃗×b⃗=0\vec{a},\vec{b}共线\Leftrightarrow\vec{a}\times\vec{b}=0a,b共线⇔a×b=0

2.判断三个向量是否共面

a⃗,b⃗,c⃗共面⇔a⃗⋅(b⃗×c⃗)=0\vec{a},\vec{b},\vec{c}共面\Leftrightarrow\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=0a,b,c共面⇔a⋅(b×c)=0

3.两个不共线向量确定一个平面

（设为a⃗=(x1,y1,z1),b⃗=(x2,y2,z3)\vec{a}=(x_1,y_1,z_1),\vec{b}=(x_2,y_2,z_3)a=(x1​,y1​,z1​),b=(x2​,y2​,z3​)）
令
∣xyzx1y1z1x2y2z2∣=0\begin{vmatrix} x & y & z \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2\\ \end{vmatrix}=0 ​xx1​x2​​yy1​y2​​zz1​z2​​​=0
即可得到平面方程

4.直线的方向向量

l:{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0l:\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} l:{A1​x+B1​y+C1​z+D1​=0A2​x+B2​y+C2​z+D2​=0​
则该直线的方向向量为两个平面法向量的叉乘

多元函数