用Python作一条已知曲线的等距曲线

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2024-04-26 12:21:17

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参考资料：

该如何作一条已知曲线的等距曲线？ - 知乎

等距线_百度百科

1.等距线

2.数学推导

3.示例

4.代码与结果

1.等距线

等距线（equidistant line）亦称平行曲线，一种平面曲线，即由一已知曲线所产生的另一曲线。平行曲线如下图。

2.数学推导

2.1 核心思想：

从原曲线法线方向偏移所需的距离，就可以得到这些平行曲线

2.2数学推导

对于参数曲线r(t)，其切线速度就是其第一导数：

归一化后得单位切线矢量：

$T(t)=(T_{x}(t),T_{y}(t))=\frac{v(t)}{\left | v(t) \right |}$

在二维中，垂直于切线的单位法矢量只需旋转切线90度，可以得到垂直于切线的单位法矢量为

$N(t)=(-T_{y}(t),T_{x}(t))$

那么，设偏移距离为a，r(t)的两条平行曲线为

$s(t)=r(t)\pm aN(t)$

3.示例

本文以 $y=4x^{3}+3x^{2}+2x+1$ 为例，将该方程转为参数方程，得s(t)为,

$s(t)=\left\{\begin{matrix}t \\ 4t^{3}+3t^{2}+2t+1 \end{matrix}\right.$

对s(t)求导得v(t)，

$v(t)=\left\{\begin{matrix}1 \\ 12t^{2}+6t+2 \end{matrix}\right.$

归一化后得单位切线矢量T(t)，

$T(t)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{1+(12t^{2}+6t+2)^{2}}} \\ \frac{12t^{2}+6t+2}{\sqrt{1+(12t^{2}+6t+2)^{2}}} \end{matrix}\right.$

将T(t)旋转90度得到N(t),

$N(t)=\left\{\begin{matrix}-1*\frac{12t^{2}+6t+2}{\sqrt{1+(12t^{2}+6t+2)^{2}}} \\ \frac{1}{\sqrt{1+(12t^{2}+6t+2)^{2}}} \end{matrix}\right.$

于是平移距离为a的曲线为，

$S(t)=r(t)\pm aN(t)$

4.代码与结果

PS：注意横、纵坐标尺度不一致，想看更明显的效果可以试验一下y=x^2

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltt = np.linspace(-5,5,40)
x1 = t
y1 = 4*t**3 + 3*t**2 + 2*t + 1x2 = t + 3*-1*(12*t**2+6*t+2)/np.sqrt(1+(12*t**2+6*t+2)**2)
y2 = 4*t**3 + 3*t**2 + 2*t + 1 + 3*1/np.sqrt(1+(12*t**2+6*t+2)**2)x3 = t - 3*-1*(12*t**2+6*t+2)/np.sqrt(1+(12*t**2+6*t+2)**2)
y3 = 4*t**3 + 3*t**2 + 2*t + 1 - 3*1/np.sqrt(1+(12*t**2+6*t+2)**2)plt.plot(x1,y1)
plt.plot(x2,y2)
plt.plot(x3,y3)

词库加载错误:未能找到文件“E:\highferrum_mysql\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。

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