线性代数中的特征值和特征向量

创始人

2024-04-26 20:36:51

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一.几个基本概念

现将下文需要运用到的一些概念进行解释说明以便读者更好理解

1.特征值与特征向量

其中，我们要注意两点：

（1）A是方阵（对于非方阵，是没有特征值的，但会有条件数）

（2）特征向量为非0列向量

我们再来看看两个相关定理

定理5.1说明了一个矩阵的几个特征向量线性无关

定义5.1的第一个式子说明了矩阵特征向量的和等于对应方阵行列式对角线元素的和，第二个式子说明了矩阵特征向量的乘积等于对于方阵行列式的值

还有一些对运算有帮助的公式

（1）(A+kE)a=(λ+k)a

（2）A²a=A(λa)=λAa=λ²a

2.矩阵可逆的条件

1 .秩等于行数
2 .行列式不为0，即|A|≠0
3 .行向量(或列向量)是线性无关组
4 .存在一个矩阵,与它的乘积是单位阵
5 .齐次线性方程组AX=0 仅有零解
6 .非齐次线性方程组AX=b 有唯一解
7 .可以经过初等行变换化为单位矩阵，即该矩阵等价于n阶单位矩阵
8 .它去左(右)乘另一个矩阵,秩不变

注意：可逆矩阵的特征值不等于0

3.相似矩阵的概念与性质

4.矩阵相似的必要条件

（1）特征多项式相同，即|λE-A|=|λE-B|

（2）A，B有相同的特征值

（3）r（A）=r（B）

（4）|A|=|B|=特征值的乘积

（5）矩阵对角线之和相同，等于特征值的和

5.矩阵相似的两个定理

6.实对称矩阵三大定理

二.一张表格

矩阵	特征值
A	λ
A^T（A的转置）	λ
KA	Kλ
A^m（m为常数）	λ^m
A^-1（逆矩阵）	λ^-1
A*（A的伴随）	\|A\|/λ
~（相似矩阵）	λ

三.三个解题步骤

1.特征向量与特征值

（1）步骤

（1）利用|λE-A|=0求出λ

（2）将λ带入|λE-A|=0求出特征向量

（2）例题

2.相似矩阵

（1）步骤

（2）例题

3.实对称矩阵

（1）步骤

（2）例题

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