前置知识：第一类换元法（凑微分法）

题1： 计算∫x1+x2dx\int \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx∫1+x2​x​dx

解：原式=12∫11+x2d(x2+1)=1+x2+C=\dfrac 12\int \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}d(x^2+1)=\sqrt{1+x^2}+C=21​∫1+x2​1​d(x2+1)=1+x2​+C

题2： 计算∫51xx2dx\int \dfrac{5^{\frac 1x}}{x^2}dx∫x25x1​​dx

解：原式=−∫51xd(1x)=−1ln⁡5⋅51x+C=-\int 5^{\frac 1x}d(\dfrac 1x)=-\dfrac{1}{\ln 5}\cdot 5^{\frac 1x}+C=−∫5x1​d(x1​)=−ln51​⋅5x1​+C

题3： 计算∫1x(1+ln⁡x)dx\int \dfrac{1}{x(1+\ln x)}dx∫x(1+lnx)1​dx

解：原式=∫11+ln⁡xd(1+ln⁡x)=ln⁡∣1+ln⁡x∣+C=\int \dfrac{1}{1+\ln x}d(1+\ln x)=\ln|1+\ln x|+C=∫1+lnx1​d(1+lnx)=ln∣1+lnx∣+C

题4： 计算∫1ex+e−xdx\int \dfrac{1}{e^x+e^{-x}}dx∫ex+e−x1​dx

解：原式=∫ex1+(ex)2dx=∫11+(ex)2d(ex)=arctan⁡ex+C=\int \dfrac{e^x}{1+(e^x)^2}dx=\int \dfrac{1}{1+(e^x)^2}d(e^x)=\arctan e^x+C=∫1+(ex)2ex​dx=∫1+(ex)21​d(ex)=arctanex+C

题5： 计算∫exxdx\int \dfrac{e^{\sqrt x}}{\sqrt x}dx∫x​ex​​dx

解：原式=2∫exd(x)=2ex+C=2\int e^{\sqrt x}d(\sqrt x)=2e^{\sqrt x}+C=2∫ex​d(x​)=2ex​+C

题6： 计算∫dxxln⁡xln⁡(ln⁡x)\int \dfrac{dx}{x\ln x\ln(\ln x)}∫xlnxln(lnx)dx​

解：原式=∫1ln⁡(ln⁡x)d(ln⁡(ln⁡x))=ln⁡(ln⁡(ln⁡x))+C=\int \dfrac{1}{\ln(\ln x)}d(\ln(\ln x))=\ln(\ln(\ln x))+C=∫ln(lnx)1​d(ln(lnx))=ln(ln(lnx))+C