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• 【1. 希尔伯特变换表示法 】
• 【 2. 指数表示法 】

• 实信号具有对称的双边谱，为了简化信号和系统的分析，通常采用具有单边频谱的复信号。
• 将实信号表示为复信号，也称为（复）解析信号，有希尔伯特变换表示法和指数表示法两种方法。

【1. 希尔伯特变换表示法 】

• 一般地，复信号可表示为
  s(t)=x(t)+jy(t)s(t)=x(t)+\text{j}y(t)s(t)=x(t)+jy(t)
• 若实信号 x(t)⇋X(f)x(t)⇋X(f)x(t)⇋X(f)，X(f)为实信号 x(t) 的傅里叶变换，则定义复解析信号为
  sa(t)⟺Sa(f)=2X(f)⋅U(f)={2X(f),f≥00,f<0s_{_{a}}(t)\Longleftrightarrow\mathrm{S}_{_{a}}(f)=2X(f)·U(f)=\begin{cases}2X(f)&,f\geq 0 \\\ 0&, f<0 \end{cases}sa​​(t)⟺Sa​​(f)=2X(f)⋅U(f)={2X(f) 0​,f≥0,f<0​
  其中 U(f) 为频域的阶跃函数。
• 利用傅里叶变换的性质，可得
  sa(t)=2(12δ(t)−1j2πt)ⓧx(t)=∫−∞+∞x(τ)δ(t−τ)dτ−1jπ∫−∞+∞x(τ)t−τdτ=x(t)+jx~(t)\begin{aligned}s_a(t)&=2\Big(\dfrac{1}{2}\delta(t)-\dfrac{1}{\text{j}2\pi t}\Big)ⓧx(t) \\&=\int_{-∞}^{+∞}x\left(\tau\right)\delta\left(t-\tau\right)\mathrm{d}\tau-\frac{1}{j\pi}\int_{-∞}^{+∞}\frac{x(\tau)}{t-\tau}d\tau \\&=x(t)+j\widetilde{x}(t) \end{aligned}sa​(t)​=2(21​δ(t)−j2πt1​)ⓧx(t)=∫−∞+∞​x(τ)δ(t−τ)dτ−jπ1​∫−∞+∞​t−τx(τ)​dτ=x(t)+jx(t)​
  其中，x~(t)=1π∫−∞+∞x(τ)t−τdτ\widetilde{x}(t)=\frac{1}{\pi}\int_{-∞}^{+∞}\frac{x(\tau)}{t-\tau}d\taux(t)=π1​∫−∞+∞​t−τx(τ)​dτ 为 x(t) 的 Hilbert 希尔伯特变换式 。
• 这样解析信号的频谱就满足了：负频分量为0，正频分量为原实信号的两倍 。
  实信号的能量：E=∫−∞∞x2(t)dt=∫−∞∞∣X(f)∣2df实信号的能量：E=\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}\left(t\right)\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{\infty}\left|X\left(f\right)\right|^{2}\mathrm{d}f实信号的能量：E=∫−∞∞​x2(t)dt=∫−∞∞​∣X(f)∣2df
  复信号的能量：Ea=∫−∞∞∣sa(t)∣2dt=2∫−∞∞x2(t)dt=2E复信号的能量：E_{a}=\int_{-\infty}^{\infty}\left|s_{a}\left(t\right)\right|^{2}\mathrm{d}t=2\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}\left(t\right)\mathrm{d}t=2E复信号的能量：Ea​=∫−∞∞​∣sa​(t)∣2dt=2∫−∞∞​x2(t)dt=2E

【 2. 指数表示法 】

• 复解析信号在推导信号的一般特性时是有效的表示方式，但在分析具体信号时又极不方便，故常采用指数形式的复信号来代替复解析信号。
• 实信号用指数形式的复信号实部表示为
  x(t)=a(t)cos⁡(2πf0t+φ0(t))=Re⁡[sa(t)]=12[sa(t)+sa∗(t)]x(t)=a(t)\cos(2\pi f_0 t+\varphi_0(t))=\operatorname{Re}\left[s_a(t)\right]=\dfrac{1}{2}\left[s_a(t)+s_a^\ast(t)\right]x(t)=a(t)cos(2πf0​t+φ0​(t))=Re[sa​(t)]=21​[sa​(t)+sa∗​(t)]
• 复解析信号可表示为
  sa(t)=a(t)ej[2πf0t+φx(t)]=u(t)ej2πf0ts_{_{\mathrm{a}}}\left(t\right)=a\left(t\right)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\left[2\pi f_{0}t+\varphi_{x}(t)\right]}=u\left(t\right)\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi f_{0}t}sa​​(t)=a(t)ej[2πf0​t+φx​(t)]=u(t)ej2πf0​t
  其中，u(t)=a(t)eiψx(t)]u(t)=a(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi_x(t)}]u(t)=a(t)eiψx​(t)] 为信号的 复包络 。