本节内容可以联系之前的代数知识理解，因为本质上方程组问题就是向量组问题

该部分的完整解题流程是：

1. 根据有解的条件判断是否有解
2. 在有解的情况下确定通解的结构
3. 解出来，且指明k1...ksk_1...k_sk1​...ks​为任意常数

这部分内容涉及基础解系和特解两方面，其中特解是非齐次线性方程组涉及的

齐次

对于齐次线性方程组Ax=0Ax=0Ax=0，矩阵Am×nA_{m×n}Am×n​意味着有mmm行个方程式子和nnn个未知数。xxx是一个具有nnn个分量的列矩阵

其通解为k1ξ1+k2ξ2+...+ksξsk_1\xi_1+k_2\xi_2+...+k_s\xi_sk1​ξ1​+k2​ξ2​+...+ks​ξs​，其中ξs\xi_sξs​是一个nnn维的列向量，sss取决于自由度。

因为矩阵Am×nA_{m×n}Am×n​在进行初等行变换之后会化为一个秩r(A)=r≤nr(A)=r\le nr(A)=r≤n的矩阵，rrr是独立方程（也称为约束）的个数，也就是该方程组能确定nnn维中的rrr个维度，但是仍然剩余s=n−rs=n-rs=n−r个维度不能被约束，所不能被约束的维度会张成一个sss维空间，即解的空间。

※对于非齐次方程组Ax=bAx=bAx=b的某两个解η1\eta_1η1​和η2\eta_2η2​，作差η1−η2\eta_1-\eta_2η1​−η2​就是齐次方程组Ax=0Ax=0Ax=0的一个解

因为Aη1=0A\eta_1=0Aη1​=0和Aη2=0A\eta_2=0Aη2​=0作差可以得到，类似地也有A(η1+η2)=2bA(\eta_1+\eta_2)=2bA(η1​+η2​)=2b

【例】对于下面的方程组

{x1+x2−3x4−x5=0x1−x2+2x3−x4=04x1−2x2+6x3+3x4−4x5=02x1+4x2−2x3+4x4−7x5=0\begin{cases} x_1+x_2-3x_4-x_5=0\\ x_1-x_2+2x_3-x_4=0\\ 4x_1-2x_2+6x_3+3x_4-4x_5=0\\ 2x_1+4x_2-2x_3+4x_4-7x_5=0\\ \end{cases} ⎩⎨⎧​x1​+x2​−3x4​−x5​=0x1​−x2​+2x3​−x4​=04x1​−2x2​+6x3​+3x4​−4x5​=02x1​+4x2​−2x3​+4x4​−7x5​=0​
能够写成矩阵形式并化简

A=∣110−1−11−12−104−263−424−24−7∣→初等行变换化简为∣110−3−10−22210003−100000∣A=\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 4 & -2 & 6 & 3 & -4 \\ 2 & 4 & -2 & 4 & -7 \\ \end{matrix} \right| \xrightarrow {初等行变换化简为} \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right| A=​1142​1−1−24​026−2​−1−134​−10−4−7​​初等行变换化简为​​1000​1−200​0200​−3230​−11−10​​

因为该阶梯矩阵秩为3，所以任意找出三个列组成秩为三的子矩阵即可，在这里选取一、二、四列。由这些列可以唯一地确定三维空间内的解（即确定五个未知量中的三个），但是由于空间是五维的（未知量的个数有五个），所以仍有两个维度不能确定，它们属于自由未知量。故取剩余第三、五列元素x1x_1x1​和x3x_3x3​设为自由未知量，令x3=k1x_3=k_1x3​=k1​，x5=k2x_5=k_2x5​=k2​，则Ax=0Ax=0Ax=0即下式：

∣110−3−10−22210003−100000∣∣x1x2k1x4k2∣=0\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} x_1 \\ x_2\\ k_1\\ x_4\\ k_2 \end{matrix} \right|=0 ​1000​1−200​0200​−3230​−11−10​​​x1​x2​k1​x4​k2​​​=0
根据题意解的结构肯定是k1ξ1+k2ξ2k_1\xi_1+k_2\xi_2k1​ξ1​+k2​ξ2​则它大概长底下这样
ξ1=(□ □ 1⋅k1□ 0⋅k2)ξ2=(□ □ 0⋅k1□ 1⋅k2)\begin{matrix} \xi_1=(□\text{ }□\text{ }1·k_1\text{ }□\text{ }0·k_2\text{ })\\ \xi_2=(□\text{ }□\text{ }0·k_1\text{ }□\text{ }1·k_2\text{ }) \end{matrix} ξ1​=(□ □ 1⋅k1​ □ 0⋅k2​ )ξ2​=(□ □ 0⋅k1​ □ 1⋅k2​ )​

其中□□□是被约束的维度（即x1x_1x1​、x2x_2x2​、x4x_4x4​），先不看他，主要是三和五这两个。因为基础解析的要求是线性无关，所以这俩位置一个填0另一个填1是最简单的形式（如上），但是未必是最优的，因为不一定方便计算，至少在本题用下面这种更方便：

ξ1=(□ □ 1⋅k1□ 0⋅k2)ξ2=(□ □ 0⋅k1□ 3⋅k2)\begin{matrix} \xi_1=(□\text{ }□\text{ }1·k_1\text{ }□\text{ }0·k_2\text{ })\\ \xi_2=(□\text{ }□\text{ }0·k_1\text{ }□\text{ }3·k_2\text{ }) \end{matrix} ξ1​=(□ □ 1⋅k1​ □ 0⋅k2​ )ξ2​=(□ □ 0⋅k1​ □ 3⋅k2​ )​

随后解出x1x_1x1​、x2x_2x2​、x4x_4x4​，即用k1k_1k1​和k2k_2k2​表示x1x_1x1​、x2x_2x2​、x4x_4x4​。按下述方法整理即可

∣x1x2x3x4x5∣=∣−k1+27k2k1+52k2k1k23k2∣=k1∣−11100∣+k2∣2752013∣\left| \begin{matrix} x_1 \\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5 \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} -k_1+\frac27k_2 \\ k_1+\frac52k_2\\ k_1\\ k_2\\ 3k_2 \end{matrix} \right|=k_1\left| \begin{matrix} -1\\1\\1\\0\\0 \end{matrix} \right|+k_2\left| \begin{matrix} \frac27\\ \frac52\\0\\1\\3 \end{matrix} \right| ​x1​x2​x3​x4​x5​​​=​−k1​+72​k2​k1​+25​k2​k1​k2​3k2​​​=k1​​−11100​​+k2​​72​25​013​​

其中k1k_1k1​、k2k_2k2​是任意常数

非齐次

非齐次线性方程组的求解和上面的齐次形式类似，但是其解的结构是k1ξ1+k2ξ2+...+ksξs+ηk_1\xi_1+k2\xi_2+...+k_s\xi_s+\etak1​ξ1​+k2ξ2​+...+ks​ξs​+η，其中s=n−r(A)s=n-r(A)s=n−r(A)，η\etaη是一个特解

并且矩阵应当写为增广矩阵的形式，即对于方程Ax=bAx=bAx=b，要处理的矩阵是[A∣b][A|b][A∣b]