l论文作者开发一个算法计算抽样S方程中使用
I(c,v)≈I^S(c,v)=∑i=1m−1τ^iLiI(\boldsymbol{c}, \boldsymbol{v}) \approx \hat{I}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{c}, \boldsymbol{v})=\sum_{i=1}^{m-1} \hat{\tau}_{i} L_{i} I(c,v)≈I^S​(c,v)=i=1∑m−1​τ^i​Li​
首先是通过利用约束方程 :
max⁡t∈[0,M]∣O(t)−O^(t)∣≤BT,β=max⁡k∈[n−1]{exp⁡(−R^(tk))(exp⁡(E^(tk+1))−1)},\max _{t \in[0, M]}|O(t)-\widehat{O}(t)| \leq B_{\mathcal{T}, \beta}=\max _{k \in[n-1]}\left\{\exp \left(-\widehat{R}\left(t_{k}\right)\right)\left(\exp \left(\widehat{E}\left(t_{k+1}\right)\right)-1\right)\right\}, t∈[0,M]max​∣O(t)−O(t)∣≤BT,β​=k∈[n−1]max​{exp(−R(tk​))(exp(E(tk+1​))−1)}, 找到 样本 T\TauT 这样0^\hat 00^:
O^(t)=1−exp(−R^(t))\widehat{O}(t)=1-exp(-\hat R(t)) O(t)=1−exp(−R^(t))
提供了一个ϵ\epsilonϵ近似真实的不透明度 OOO, 其中ϵ\epsilonϵ为超参数，即 BT,β<ϵB_{T,\beta} < \epsilonBT,β​<ϵ.第二,我们执行逆CDF抽样与O^\hat OO^.

注意，从引理1可以得出，我们可以简单地选择足够大的n来保证BT,β<ϵB_{T,\beta} < \epsilonBT,β​<ϵ。然而，这将导致过多的样本。相反，我们建议一个简单的算法来减少实际中所需的样本数量，并允许使用有限的样本点预算。简单地说，我们从均匀采样T=T0T = T_0T=T0​开始，用引理2初始设置β+>β\beta_+ > \betaβ+​>β满足BT,β+≤ϵB_{T,\beta_+} \le \epsilonBT,β+​​≤ϵ。然后，我们重复上采样TTT以降低β+\beta_+β+​，同时维持BT,β+≤ϵB_{T,\beta_+} \le \epsilonBT,β+​​≤ϵ。尽管这个简单的策略不能保证收敛，但我们发现β+\beta_+β+​通常收敛于β+\beta_+β+​（通常为85%，见图3），即使在不收敛的情况下，算法提供的β+\beta_+β+​的不透明度近似仍然保持一个误差。算法如下所示（算法1）。

我们初始化TTT(1号线算法1)均匀采样T0={ti}i=1n,tk=(k−1)Mn−1,k∈[n]T_0 = \{t_i\} ^n_{i = 1}, t_k = \frac{(k−1)M}{n−1}, k∈[n]T0​={ti​}i=1n​,tk​=n−1(k−1)M​,k∈[n](我们在我们的实现中使用n = 128)。给定这个采样，我们接下来根据引理2选取β+>β\beta_+ > \betaβ+​>β，使得误差界满足要求的界（算法1中的第2行）。

为了降低β+\beta_+β+​，同时保持BT,β+≤ϵB_{T,\beta_+} \le \epsilonBT,β+​​≤ϵ，将n个样本添加到T（算法1中的第4行），其中从每个间隔采样的点数与其当前误差界限成比例，公式：
maxt∈[tk,tk+1]O(t)−O^(t)∣≤exp(E^(tk+1)−1)\underset{t\in[t_k,t_{k+1}]}{max} O(t)-\widehat{O}(t)| \le exp(\hat E(t_{k+1})-1)t∈[tk​,tk+1​]max​O(t)−O(t)∣≤exp(E^(tk+1​)−1)
假设T被充分上采样并满足BT,β+≤ϵB_{T,\beta_+} \le \epsilonBT,β+​​≤ϵ，我们将β+\beta_+β+​向β\betaβ减小。因为算法没有停止，所以我们有BT,β+≥ϵB_{T,\beta_+} \ge \epsilonBT,β+​​≥ϵ。因此，中值定理蕴含着存在β∈（β，β+）\beta \in（\beta，\beta_+）β∈（β，β+​）使得BT,β+=ϵB_{T,\beta_+} = \epsilonBT,β+​​=ϵ。我们使用二分法（最多10次迭代）来有效地搜索β\betaβ并相应地更新β+\beta_+β+​（算法1中的第6行和第7行）。该算法迭代运行，直到BT,β+≤ϵB_{T,\beta_+} \le \epsilonBT,β+​​≤ϵ或达到最大迭代次数5。无论哪种方式，我们都使用最终的TTT和β+\beta_+β+​（保证提供BT,β+≤ϵB_{T,\beta_+} \le \epsilonBT,β+​​≤ϵ）来估计当前的不透明度OOO，算法1中的第10行）。最后，我们使用逆变换采样返回一个新的m = 64个样本O的集合（算法1中的第11行）。图3显示了算法1的定性说明，β = 0.001和= 0.1（典型值）。

引理1.固定β>0\beta > 0β>0。对于任何ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0，足够密集的采样T将提供BT,β+≤ϵB_{T,\beta_+} \le \epsilonBT,β+​​≤ϵ。其次，在样本数固定的情况下，我们可以设置β\betaβ，使得误差界小于：ϵ\epsilonϵ.

引理2.固定n>0n > 0n>0。对于任何ϵ>0\epsilon>0ϵ>0，有一个足够大的β\betaβ满足β≥αM2a(n−1)log(1+ϵ)\beta \ge \frac{\alpha M^2}{a(n-1)log(1+\epsilon)}β≥a(n−1)log(1+ϵ)αM2​将提供BT,β+≤ϵB_{T,\beta_+} \le \epsilonBT,β+​​≤ϵ.