试题D：路径

文章目录

• 试题D：路径
• 一、前置知识
• 二、分析
• • 1、数据分析
  • 2、过程分析
• 三、代码
• 四、参考材料

​ 小蓝学习了最短路径之后特别高兴，他定义了一个特别的图，希望找到图中的最短路径。小蓝的图由2021 个结点组成，依次编号1 至2021。

​ 对于两个不同的结点a, b，如果a 和b 的差的绝对值大于21，则两个结点之间没有边相连；如果a 和b 的差的绝对值小于等于21，则两个点之间有一条长度为a 和b 的最小公倍数的无向边相连。
​ 例如：结点1 和结点23 之间没有边相连；结点3 和结点24 之间有一条无向边，长度为24；
结点15 和结点25 之间有一条无向边，长度为75。
​ 请计算，结点1 和结点2021 之间的最短路径长度是多少。
​ 提示：建议使用计算机编程解决问题。

解析：

一、前置知识

问题1：怎么求两个数a，b的最小公倍数呢？

答：【公式】a,b最小公倍数=a×b/a,b的最大公因数a,b最小公倍数 = a \times b / a,b的最大公因数a,b最小公倍数=a×b/a,b的最大公因数.

问题2：怎么求最大公因数呢？

答：辗转相除法

public static int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

问题3：阈值的选取

答：这一步很重要，下午调试了很久都是因为阈值没选好。阈值不能很大，因为这样可能会使扩展部分的加法查出long型范围；阈值不能太小，太小导致答案在阈值外面。

问题4：long型和Long型的区别

int转long型自然转换，int转Long型强制转换。

二、分析

1、数据分析

• 0 < i 和 j 两个节点之间的差的绝对值 <22，distance[i][j] =a,b最小公倍数
• i 和 j 两个节点之间的差的绝对值==0，distance[i][j] =0
• i 和 j 两个节点之间的差的绝对值 > 21，distance[i][j] = 阈值，阈值十分重要，本次屡次在这犯错。

2、过程分析

​ 在图中求一个点到另一个点的距离，可以使用Dijkstra和Floyd方法。可以使用Floyd方法是因为本题是填空题，时间复杂度不重要。

​ 关于Dijkstra和Floyd方法可以查看Dijkstra和Floyd

三、代码

1、Dijkstra代码

public class ExaminationD_Dijkstra {//求解最大公因数public static long gcd(long a,long b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}//求解a,b的最小公倍数public static long lcm(long a,long b){return a*b/gcd(a,b);}public static long[] dijkstra(long[][] distance,int n,int origin){//辅助数组boolean[] used = new boolean[n];long[] minDis = new long[n];int pathIndex = origin-1;//初始化数组for (int i = 0; i < n; i++) {minDis[i] = distance[origin-1][i];}used[origin-1] = true;for (int i = 1; i < n; i++) {long min = Long.MAX_VALUE;//选取部分for (int j = 0; j < n; j++) {if (!used[j]&&minDis[j]//System.out.println(String.format("变化前minDis[%d]=%d,min=%d",j,minDis[j],min));min = minDis[j];//System.out.println(String.format("变化后minDis[%d]=%d,min=%d",j,minDis[j],min));pathIndex = j;}}used[pathIndex]= true;//扩展部分for (int k = 0; k < n; k++) {if (distance[pathIndex][k]!=Long.MAX_VALUE) {//选取合适的阈值使答案在这个范围又要使下面的加法不差过long范围if (minDis[pathIndex]+distance[pathIndex][k]minDis[k] = minDis[pathIndex] + distance[pathIndex][k];System.out.println(String.format("扩展minDisk[%d]=%d",k,minDis[k]));}}}}return minDis;}public static void main(String[] args) {int n = 2021;long[][] dis = new long[n][n];for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (Math.abs(i-j)<=21&&Math.abs(i-j)>0) {dis[i][j] = dis[j][i] = lcm(i+1,j+1);}else if(i==j){dis[i][j] = 0;//在扩展部分可能会加上去}else if(Math.abs(i-j)>21){dis[i][j] = Long.MAX_VALUE;}}}long[] res = dijkstra(dis, n, 1);System.out.println(res[n-1]);}
}

2、Floyd代码

//麻烦的是怎么设定一个阈值
public class ExaminationD_Floyd {//求解最大公因数public static long gcd(long a,long b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}//求解a,b的最小公倍数public static long lcm(long a,long b){return a*b/gcd(a,b);}public static long[][] floyd(long[][] distance,int n,int origin){for (int k = 0; k for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (distance[k][j]!=99999999L) {//设定阈值使小于阈值的两个数相加不超过long范围if (distance[i][k]+distance[k][j]distance[i][j] = distance[i][k]+distance[k][j];}}}}}return distance;}public static void main(String[] args) {int n = 2021;long[][] dis = new long[n][n];for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (Math.abs(i-j)<=21&&Math.abs(i-j)>0) {dis[i][j] = dis[j][i] = lcm(i+1,j+1);}else if(i==j){dis[i][j] = 0;}else if(Math.abs(i-j)>21){dis[i][j] = 99999999L;}}}long res[][] = floyd(dis,n,1);System.out.println(res[0][n-1]);}
}

四、参考材料

蓝桥杯2021初赛 路径 Java

[2]2021蓝桥杯 java路径