Nebius Welcome Round (Div. 1 + Div. 2) F. Approximate Diameter(构造/图论性质+二分+最短路)
创始人
2024-06-02 21:03:20
0

题目

给定一个n(2<=n<=1e5)个点,m(n-1<=m<=1e5)条边的无向无环图

可能有自环和重边,q(0<=q<=1e5)次加边操作,每次加u和v

要求输出q+1行,即没加边时,和每次加边之后图的直径d(G)

d(G)被定义为图上点u和v之间d(u,v)的最大值,其中d(u,v)是u到v的最短路

注意:

若实际第i(0<=i<=q)次加边后,图的直径为gif.latex?d_%7Bi%7D%28G%29

而你输出的值为gif.latex?a_%7Bi%7D,只要gif.latex?%5Cleft%20%5Clceil%20%5Cfrac%7Bd_%7Bi%7D%28G%29%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%5Crceil%20%5Cleq%20a_%7Bi%7D%5Cleq%202*d_%7Bi%7D%28G%29,即视为正确

思路来源

官方题解 & jly代码

题解

强烈建议知乎问题《有哪些注意不到就做不出来的题》收列此题

60d09b2650a34655b088a9b021a31a69.png

翻译一遍题解

gif.latex?c_%7BG%7D%28u%29为u到u的图上最远点v的距离,

gif.latex?r%28G%29gif.latex?c_%7BG%7D%28u%29最小值,图的半径;

gif.latex?d%28G%29gif.latex?c_%7BG%7D%28u%29最大值,图的直径

由定义,有gif.latex?r%28G%29%5Cleq%20c_G%28u%29%20%5Cleq%20d%28G%29

由三角形不等式,有gif.latex?d%28G%29%5Cleq2*r%28G%29

证明:

设u、v点构成图的直径d(G),

不失一般性,设r(G)的某个端点是1号点,另一端点是w点

gif.latex?d%28G%29%3Dd%28u%2Cv%29%5Cleq%20d%28u%2C1%29+d%28v%2C1%29%5Cleq%20d%28w%2C1%29+d%28w%2C1%29%3D2*r%28G%29

因为,图的直径不支持两遍bfs,

所以,1号点bfs一次的w点,不一定是u点和v点中的一个,不能用树上的做法放缩,

但是,最远距离是满足放缩条件的,故不等式成立

gif.latex?%5Cfrac%7Bd%28G%29%7D%7B2%7D%5Cleq%20r%28G%29%20%5Cleq%20c_%7BG%7D%28u%29%20%5Cleq%20d%28G%29%20%5Cleq%202*r%28G%29%20%5Cleq%202*c_G%28u%29%20%5Cleq%202*d%28G%29

gif.latex?%5Bc_%7BG%7D%28u%29%2C2*c_%7BG%7D%28u%29%5D之间的值均符合题意,

可以任取一个点u跑一次bfs,即可gif.latex?O%28q*%28n+m+q%29%29实现

优化

注意到,随着动态加边,直径d(G)和每个点u对应的gif.latex?c_%7BG%7D%28u%29,是非严格递减的,

gif.latex?i%3Cj%2C%20c_%7BG_%7Bj%7D%7D%28u%29%5Cleq%20c_%7BG_%7Bi%7D%7D%28u%29 

gif.latex?c_%7BG_%7Bi%7D%7D%28u%29%5Cleq%202*c_%7BG_%7Bj%7D%7D%28u%29成立,就有gif.latex?c_%7BG_%7Bj%7D%7D%28u%29%20%5Cleq%20c_%7BG_%7Bi%7D%7D%28u%29%5Cleq%202*c_%7BG_%7Bj%7D%7D%28u%29%20%5Cleq%202*c_%7BG_%7Bi%7D%7D%28u%29

gif.latex?%5Bc_%7BG_%7Bi%7D%7D%28u%29%2C2*c_%7BG_%7Bi%7D%7D%28u%29%5D符合第i次询问的答案,gif.latex?%5Bc_%7BG_%7Bj%7D%7D%28u%29%2C2*c_%7BG_%7Bj%7D%7D%28u%29%5D符合第j次询问的答案

区间是随着答案非严格递减平移的,

所以,二者区间之交一定满足[i,j]内所有询问的答案

对于当前i,二分满足gif.latex?c_%7BG_%7Bi%7D%7D%28u%29%5Cleq%202*c_%7BG_%7Bj%7D%7D%28u%29的最右端点j即可

由于值域gif.latex?c_%7BG%7D%28u%29%5Cleq%20n%20%5Cleq%201e5,端点gif.latex?j%5Cleq%20q%5Cleq%201e5

复杂度gif.latex?O%28log%20q*logn*%28n+m+q%29%29

本题不支持hack,因为官方数据的答案是用分布式跑出来的,有的数据还缀在输入数据尾了

代码

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair P;
const int N=1e5+10,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,q,dis[N],ans[N];
vector

e[N]; int bfs(int t){queueq;q.push(1);memset(dis,INF,sizeof dis);dis[1]=0;while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();for(auto &[v,w]:e[u]){if(w<=t && dis[v]>dis[u]+1){dis[v]=dis[u]+1;q.push(v);}}}return *max_element(dis+1,dis+n+1); } int main(){cin>>n>>m>>q;for(int i=1;i<=m;++i){int u,v;cin>>u>>v;e[u].push_back(P(v,0));e[v].push_back(P(u,0));}for(int i=1;i<=q;++i){int u,v;cin>>u>>v;e[u].push_back(P(v,i));e[v].push_back(P(u,i));}for(int i=0;i<=q;){int d=bfs(i);int l=i+1,r=q;while(l<=r){int mid=(l+r)/2;if(d<=2*bfs(mid))l=mid+1;else r=mid-1;}while(i<=r)ans[i++]=d;}for(int i=0;i<=q;++i){cout<

 

 

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