文章目录

• • 1 定积分的定义
  • 2 定积分的近似计算
  • 3 定积分的性质
  • 4 例题
  • 后记

1 定积分的定义

设函数f(x)在[a,b]f(x)在[a,b]f(x)在[a,b]上有界，在[a,b][a,b][a,b]中任意插入若干个分点

​ a=x0

把区间[a,b][a,b][a,b]分成nnn个小区间

​ [x0,x1],[x1,x2],⋯,[xn−1,xn][x_0,x_1], [x_1,x_2],\cdots,[x_{n-1},x_n][x0​,x1​],[x1​,x2​],⋯,[xn−1​,xn​]

各个小区将的长度依次为

​ Δx1=x1−x0,Δx2=x2−x1,⋯,Δxn=xn−xn−1\Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,\cdots,\Delta x_n=x_n-x_{n-1}Δx1​=x1​−x0​,Δx2​=x2​−x1​,⋯,Δxn​=xn​−xn−1​

在每个小区间[xi−1,xi][x_{i-1},x_i][xi−1​,xi​]上任取一点ξi(xi−1≤ξi≤xi)\xi_i(x_{i-1}\le\xi_i\le x_i)ξi​(xi−1​≤ξi​≤xi​),做函数值f(ξi)f(\xi_i)f(ξi​)与小区间长度Δxi\Delta x_iΔxi​的乘积f(ξi)Δxi(i=1,2,⋯,n)f(\xi_i)\Delta x_i(i=1,2,\cdots,n)f(ξi​)Δxi​(i=1,2,⋯,n),并求和得

​ S=∑i=1nf(ξi)ΔxiS=\displaystyle\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_iS=i=1∑n​f(ξi​)Δxi​ (1-1)

记λ=max⁡{Δx1,Δx2,⋯,Δxn}\lambda=\max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n\}λ=max{Δx1​,Δx2​,⋯,Δxn​},如果当λ→0\lambda\to0λ→0时，上述和的极限总存在，且与闭区间[a,b][a,b][a,b]的分法及点ξi\xi_iξi​的取法无关，那么称这个极限I为函数f(x)f(x)f(x)区间[a,b][a,b][a,b]上的定积分（简称积分），记做∫abf(x)dx\int_a^b{f(x)dx}∫ab​f(x)dx,即

​ ∫abf(x)dx=I=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi)Δxi\int_a^b{f(x)dx}=I=\lim\limits_{\lambda\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^n{f(\xi_i)\Delta x_i}∫ab​f(x)dx=I=λ→0lim​i=1∑n​f(ξi​)Δxi​

相关概念：

f(x)f(x)f(x)：被积函数；

f(x)dxf(x)dxf(x)dx：被积表达式

xxx：积分变量

aaa：积分下限

bbb：积分上限

[a,b][a,b][a,b]：积分区间

注：

• 会改写lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi)Δxi=∫abf(x)dx\lim\limits_{\lambda\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^n{f(\xi_i)\Delta x_i}=\int_a^b{f(x)dx}λ→0lim​i=1∑n​f(ξi​)Δxi​=∫ab​f(x)dx

• 定积分的至于被积函数和积分区间有关，而与积分变量的的记法无关。

  • ∫abf(x)dx=∫abf(t)dt\int_a^b{f(x)dx}=\int_a^b{f(t)dt}∫ab​f(x)dx=∫ab​f(t)dt

可积条件

定理1 设f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]上可积

定理2 设f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]上可积。

2 定积分的近似计算

• 矩形法

设f(x)在[a,b]f(x)在[a,b]f(x)在[a,b]上连续，这是定积分∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx存在。

把区间[a,b][a,b][a,b]等分为n份，则每个小区间[xi−1,xi][x_{i-1},x_i][xi−1​,xi​]的长度Δx=b−an\Delta x=\frac{b-a}{n}Δx=nb−a​

记f(xi)=yi(i=1,2,⋯,n)f(x_i)=y_i(i=1,2,\cdots,n)f(xi​)=yi​(i=1,2,⋯,n),则定积分为
∫abf(x)dx={lim⁡n→∞b−1n∑i=1nf(xi−1)≈b−1n(y0+y1+⋯+yn−1),ξi=xi−1(1−3)lim⁡n→∞b−1n∑i=1nf(xi)≈b−1n(y1+y2+⋯+yn),ξi=xi(1−4)\int_a^bf(x)dx= \begin{cases} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{b-1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^nf(x_{i-1})&\approx\frac{b-1}{n}(y_0+y_1+\cdots+y_{n-1}),\quad &\xi_i=x_{i-1} &(1-3)\\ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{b-1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^nf(x_i)&\approx\frac{b-1}{n}(y_1+y_2+\cdots+y_n),\quad &\xi_i=x_i &(1-4)\\ \end{cases} ∫ab​f(x)dx=⎩⎨⎧​n→∞lim​nb−1​i=1∑n​f(xi−1​)n→∞lim​nb−1​i=1∑n​f(xi​)​≈nb−1​(y0​+y1​+⋯+yn−1​),≈nb−1​(y1​+y2​+⋯+yn​),​ξi​=xi−1​ξi​=xi​​(1−3)(1−4)​
矩形法几何意义：用窄条矩形的面积作为窄条曲边梯形的近似值。

• 梯形法

原理 切分方法同上，将y=f(x)y=f(x)y=f(x)上的小弧断用直线段代替，也就是把窄条曲边梯形用窄条梯形代替，由此得到定积分的近似值

​ ∫abf(x)dx≈b−an(y0+yn2+y1+y2+⋯+yn−1)\int_a^bf(x)dx\approx\frac{b-a}{n}(\frac{y_0+y_n}{2}+y_1+y_2+\cdots+y_{n-1})∫ab​f(x)dx≈nb−a​(2y0​+yn​​+y1​+y2​+⋯+yn−1​) (1-5)

梯形公式法近似值（1-5）是矩形法公式(1-3)和(1-4)所得两个近似值的平均值。

• 抛物线法

原理：将曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)上的两个小弧段KaTeX parse error: Undefined control sequence: \overparen at position 1: \̲o̲v̲e̲r̲p̲a̲r̲e̲n̲{M_{i-1}M_i}和\o…合起来，用过Mi−1,Mi,Mi+1M_{i-1},M_i,M_{i+1}Mi−1​,Mi​,Mi+1​三点的抛物线y=px2+qx+r代替。y=px^2+qx+r代替。y=px2+qx+r代替。近似值为

​ ∫abf(x)dx=b−a3n[y0+yn+4(y1+y3+⋯+yn−1)+2(y2+y4+⋯+yn−2)]\int_a^bf(x)dx=\frac{b-a}{3n}[y_0+y_n+4(y_1+y_3+\cdots+y_{n-1})+2(y_2+y_4+\dots+y_{n-2})]∫ab​f(x)dx=3nb−a​[y0​+yn​+4(y1​+y3​+⋯+yn−1​)+2(y2​+y4​+⋯+yn−2​)]

当积分区间为[0,1][0,1][0,1]时，f(x)f(x)f(x)的积分公式为

​ ∫01f(x)dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(in)⋅1n\int_0^1f(x)dx=\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^nf(\frac{i}{n})\cdot\frac{1}{n}∫01​f(x)dx=n→∞lim​i=1∑n​f(ni​)⋅n1​

可用于求数列求和极限

例如:

• lim⁡n→∞∑i=1n1−(in)2⋅1n=∫011−x2dx\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^n\sqrt{1-(\frac{i}{n})^2}\cdot\frac{1}{n}=\int_0^1\sqrt{1-x^2}dxn→∞lim​i=1∑n​1−(ni​)2​⋅n1​=∫01​1−x2​dx
• lim⁡n→∞1+22+33+⋯+n2n3=lim⁡n→∞∑i=1n(in)2⋅1n=∫01x2dx\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1+2^2+3^3+\cdots+n^2}{n^3}=\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^n(\frac{i}{n})^2\cdot\frac{1}{n}=\int_0^1x^2dxn→∞lim​n31+22+33+⋯+n2​=n→∞lim​i=1∑n​(ni​)2⋅n1​=∫01​x2dx

3 定积分的性质

补充规定：

（1）∫aaf(x)dx=0\int_a^af(x)dx=0∫aa​f(x)dx=0

（2）∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx∫ab​f(x)dx=−∫ba​f(x)dx

性质1 设α与β\alpha与\betaα与β均为常数，则

​ ∫ab[αf(x)+βg(x)]dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int_a^bf(x)dx+\beta\int_a^bg(x)dx∫ab​[αf(x)+βg(x)]dx=α∫ab​f(x)dx+β∫ab​g(x)dx

性质1对于任意有限个函数的线性组合也是成立的。

性质2

​ ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx∫ab​f(x)dx=∫ac​f(x)dx+∫cb​f(x)dx

常数c可以在区间[a,b][a,b][a,b]之内，也可以在区间[a,b][a,b][a,b]之外，只要能使∫acf(x)dx,∫cbf(x)dx\int_a^cf(x)dx,\int_c^bf(x)dx∫ac​f(x)dx,∫cb​f(x)dx积分存在即可。

性质2对多个分界点也是成立的。

性质3 如果在区间[a,b]上f(x)=1[a,b]上f(x)=1[a,b]上f(x)=1,那么

​ ∫abf(x)dx=∫abdx=b−a\int_a^bf(x)dx=\int_a^bdx=b-a∫ab​f(x)dx=∫ab​dx=b−a

性质4 如果在区间[a,b]上，f(x)≥0[a,b]上，f(x)\ge0[a,b]上，f(x)≥0,那么

​ ∫abf(x)dx≥0,(a

推论1 如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)[a,b]上f(x)\le g(x)[a,b]上f(x)≤g(x),那么

​ ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\int_a^bf(x)dx\le\int_a^bg(x)dx∫ab​f(x)dx≤∫ab​g(x)dx

推论2 ∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx(a

性质5 设M及mM及mM及m分别是函数f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则

​ m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)(a

性质6 （定积分中值定理）如果函数f(x)在积分区间[a,b]f(x)在积分区间[a,b]f(x)在积分区间[a,b]上连续，那么在[a,b][a,b][a,b]上至少存在一个点ξ\xiξ,使下式成立：

​ ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)(a≤ξ≤b)\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a) \quad(a\le\xi\le b)∫ab​f(x)dx=f(ξ)(b−a)(a≤ξ≤b)

4 例题

例2 估计积分∫20ex2−xdx\int_2^0e^{x^2-x}dx∫20​ex2−xdx的值
解：∫20ex2−xdx=−∫02ex2−xdxx2−x=(x−12)2−14当x=12时，ex2−x取得最小值e−14;当x=2时，ex2−x取得最大值e23根据性质5有：2e−14≤−∫02f(x)dx≤2e23即−2e23≤∫20ex2−xdx≤−2e−14解：\int_2^0e^{x^2-x}dx=-\int_0^2e^{x^2-x}dx\\ x^2-x=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4} \\ 当x=\frac{1}{2}时，e^{x^2-x}取得最小值e^{-\frac{1}{4}};当x=2时，e^{x^2-x}取得最大值e^{\frac{2}{3}}\\ 根据性质5有：2e^{-\frac{1}{4}}\le-\int_0^2f(x)dx\le2e^{\frac{2}{3}}即\\ -2e^{\frac{2}{3}}\le\int_2^0e^{x^2-x}dx\le-2e^{-\frac{1}{4}} 解：∫20​ex2−xdx=−∫02​ex2−xdxx2−x=(x−21​)2−41​当x=21​时，ex2−x取得最小值e−41​;当x=2时，ex2−x取得最大值e32​根据性质5有：2e−41​≤−∫02​f(x)dx≤2e32​即−2e32​≤∫20​ex2−xdx≤−2e−41​
例3 设I=∫0π4ln⁡(sin⁡x)dx,J=∫0π4ln⁡(cot⁡x)dx,K=∫0π4ln⁡(cos⁡x)dxI=\int_0^\frac{\pi}{4}\ln(\sin x)dx,J=\int_0^\frac{\pi}{4}\ln(\cot x)dx,K=\int_0^\frac{\pi}{4}\ln(\cos x)dxI=∫04π​​ln(sinx)dx,J=∫04π​​ln(cotx)dx,K=∫04π​​ln(cosx)dx,比较I,J,KI,J,KI,J,K的大小
解：当x∈[0,π4]时，0≤sin⁡x≤cos⁡x≤1≤cot⁡x当x≤0时，ln⁡x单增，所以ln⁡(sin⁡x)≤ln⁡(cos⁡x)≤ln⁡(cot⁡x)根据推论1有I=∫0π4ln⁡(sin⁡x)dx≤J=∫0π4ln⁡(cot⁡x)dx≤K=∫0π4ln⁡(cos⁡x)dx解：当x\in[0,\frac{\pi}{4}]时，0\le\sin x\le\cos x\le1\le\cot x\\ 当x\le0时，\ln x单增，所以\ln(\sin x)\le\ln(\cos x)\le\ln(\cot x)\\ 根据推论1有I=\int_0^\frac{\pi}{4}\ln(\sin x)dx\le J=\int_0^\frac{\pi}{4}\ln(\cot x)dx\le K=\int_0^\frac{\pi}{4}\ln(\cos x)dx 解：当x∈[0,4π​]时，0≤sinx≤cosx≤1≤cotx当x≤0时，lnx单增，所以ln(sinx)≤ln(cosx)≤ln(cotx)根据推论1有I=∫04π​​ln(sinx)dx≤J=∫04π​​ln(cotx)dx≤K=∫04π​​ln(cosx)dx
例4 设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且f(1)=2∫012ex−x2f(x)dxf(1)=2\int_0^{\frac{1}{2}}e^{x-x^2}f(x)dxf(1)=2∫021​​ex−x2f(x)dx,试证：至少存在一点ξ∈(0,1)使f′(ξ)=(2ξ−1)⋅f(ξ)\xi\in(0,1)使f^{'}(\xi)=(2\xi-1)\cdot f(\xi)ξ∈(0,1)使f′(ξ)=(2ξ−1)⋅f(ξ)
证明：令F(x)=ex−x2f(x),x∈[0,1]∃ϕ∈(0,12),使得∫012ex−x2f(x)dx=12eϕ−ϕ2f(ϕ),则F(1)=2∫012ex−x2f(x)dx=eϕ−ϕ2f(ϕ)=F(ϕ)根据罗尔定理，有∃ξ∈(ϕ,1)⊂(0,1),使得F′(ξ)=0F′(x)=ex−x2[f′(x)−(2x−1)],则F′(ξ)=eξ−ξ2[f′(ξ)−(2ξ−1)]=0化简得f′(ξ)=(2ξ−1)⋅f(ξ)证明：令F(x)=e^{x-x^2}f(x),x\in[0,1]\\ \exist\phi\in(0,\frac{1}{2}),使得\int_0^{\frac{1}{2}}e^{x-x^2}f(x)dx=\frac{1}{2}e^{\phi-\phi^2}f(\phi) ,则\\ F(1)=2\int_0^{\frac{1}{2}}e^{x-x^2}f(x)dx=e^{\phi-\phi^2}f(\phi)=F(\phi)\\ 根据罗尔定理，有\\ \exist\xi\in(\phi,1)\subset(0,1),使得F^{'}(\xi)=0\\ F^{'}(x)=e^{x-x^2}[f^{'}(x)-(2x-1)] ,则\\ F^{'}(\xi)=e^{\xi-\xi^2}[f^{'}(\xi)-(2\xi-1)]=0 化简得f^{'}(\xi)=(2\xi-1)\cdot f(\xi) 证明：令F(x)=ex−x2f(x),x∈[0,1]∃ϕ∈(0,21​),使得∫021​​ex−x2f(x)dx=21​eϕ−ϕ2f(ϕ),则F(1)=2∫021​​ex−x2f(x)dx=eϕ−ϕ2f(ϕ)=F(ϕ)根据罗尔定理，有∃ξ∈(ϕ,1)⊂(0,1),使得F′(ξ)=0F′(x)=ex−x2[f′(x)−(2x−1)],则F′(ξ)=eξ−ξ2[f′(ξ)−(2ξ−1)]=0化简得f′(ξ)=(2ξ−1)⋅f(ξ)

后记

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p224-235.

[2]【梨米特】同济七版《高等数学》全程教学视频｜纯干货知识点解析，应该是全网最细｜微积分 | 高数[CP/OL].2020-04-16.p32.